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Forum "Uni-Lineare Algebra" - det einer m x n - Matrix, m > n
det einer m x n - Matrix, m > n < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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det einer m x n - Matrix, m > n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Di 29.06.2004
Autor: Leibniz

Hallo "Matheräumer"!

Folgende nette Sache habe ich zu bestimmen. Hilfe dabei wär äußerst :-) nett!

Sei A eine reelle m x n - Matrix mit  m > n.   Bestimmen Sie det [mm] (AA^{t}). [/mm]


Lieg ich da richtig, dass da was ganz einfaches rauskommt. Also det = 0  oder det = 1, für m > n  ? Denn wie soll ich das denn sonst allgemein bestimmen können?
Vielen Dank für eine Hilfestellung!

Leibnix

        
Bezug
det einer m x n - Matrix, m > n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Di 29.06.2004
Autor: Julius

Hallo Leibnix!

Es gilt doch für die $m [mm] \times [/mm] m$-Matrix [mm] $AA^T$: [/mm]

[mm] $Rang(AA^T) \le \min(Rang(A),Rang(A^T)) \le \min(n,m) \le [/mm] n < m$,

also:

[mm] $\det(AA^T)=0$. [/mm]

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
det einer m x n - Matrix, m > n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Mi 30.06.2004
Autor: Leibniz

Hi

Das hat mich schon einiges weitergebracht, vielen Dank!

Eine Frage noch: Du meintest sicher auch eine m x n und keine m x m - ist nur ein Tippfehler, oder?

In Worten hieße die Lösung: det [mm] (AA^{t}) [/mm] ist 0, da die Matrix wegen m > n nicht Vollrang hat und det (A) = 0 für Matrizen, die nicht vollen Rang haben.
Lieg ich da richtig? Ich hoffe doch...

Oh, sind jetzt doch 2...

Vielen Dank nochmals

von  LeibniX

Bezug
                        
Bezug
det einer m x n - Matrix, m > n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:45 Mi 30.06.2004
Autor: Julius

Hallo!

> Eine Frage noch: Du meintest sicher auch eine m x n und
> keine m x m - ist nur ein Tippfehler, oder?

Nein, ich meinte $m [mm] \times [/mm] m$.

$A$ ist eine $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix und [mm] $A^T$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix. Daher ist [mm] $AA^T$ [/mm] eine $m [mm] \times [/mm] m$-Matrix.  

> In Worten hieße die Lösung: det [mm](AA^{t})[/mm] ist 0, da die
> Matrix wegen m > n nicht Vollrang hat und det (A) = 0 für
> Matrizen, die nicht vollen Rang haben.
>  Lieg ich da richtig? Ich hoffe doch...

Stark vereinfacht ist das die Lösung ja. Eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix mit $n<m$ kann höchstens den Rang $n$ haben, und die Multiplikation mit einer anderen Matrix (in diesem Fall mit [mm] $A^T$) [/mm] kann den Rang der Ergebnismatrix auf keinen Fall erhöhen. Daher gilt auch [mm] $Rang(AA^T) \le [/mm] n < m$.

> Oh, sind jetzt doch 2...

Häh? Was ist doch 2?  [verwirrt]

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                                
Bezug
det einer m x n - Matrix, m > n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:29 Do 01.07.2004
Autor: Leibniz


> Häh? Was ist doch 2?  

"Noch eine Frage" hatte ich angekündigt, dann wurden es doch 2!

Also herzlichen Dank für die 2 Antworten! ;-) :-)

Leibnix


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