det einer Basiswechselmatrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum der Dimension n und [mm] $\omega \in \mathrm{Alt}^n [/mm] V,\ [mm] \omega \neq [/mm] 0 $. Ist M die Basiswechselmatrix von der Basis [mm] $a=(a_1,...,a_n) [/mm] $ von V zur Basis [mm] $b=(b_1,...,b_n)$ [/mm] von V, so gilt:
$$
[mm] \det M=\frac{\omega(a_1,...,a_n)}{\omega(b_1,...,b_n)}
[/mm]
$$ |
Hallo,
meine Idee ist es, die Aussage über die Leibniz-Formel zu beweisen.
Da [mm] $a=(a_1,...,a_n) [/mm] $ und [mm] $b=(b_1,...,b_n)$ [/mm] zwei Basen von V sind, gilt:
[mm] $a_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n}M_{ij}b_j$ [/mm] und somit auch:
$ [mm] \det M=\frac{\omega(\sum_{j=1}^{n}M_{1j}b_j,...,\sum_{j=1}^{n}M_{nj}b_j)}{\omega(b_1,...,b_n)} [/mm] = [mm] \det M=\frac{\omega( M_{11}b_1+...+M_{1n}b_n ,..., M_{n1}b_1+...+M_{nn}b_n )}{\omega(b_1,...,b_n)} [/mm] $
Die Leibniz-Formel lautet:
[mm] $\det M=\sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sign} (\sigma) \cdot M_{1 \sigma(1)}\cdot [/mm] ... [mm] \cdot M_{n \sigma(n)} [/mm] $
Jetzt weiß ich nicht, wie ich das unter einen Hut kriegen soll. Soll ich die [mm] $M_{ij}$ [/mm] oben aus [mm] $\omega$ [/mm] herausziehen? Das darf ich ja machen, weil [mm] $\omega$ [/mm] eine alternierende Form ist. Dann ist mir aber nicht klar, woher [mm] $\mathrm{sign} (\sigma)$ [/mm] kommen soll.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke im Voraus!
Viele Grüße,
Kevin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 19.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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