definitheit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:39 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo,
ich verstehe die Definition nicht, wann eine Matrix positiv, bzw. negativ definit ist. Könnt Ihr mir das erklären?
Herzlichen Dank und viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Fr 20.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> ich verstehe die Definition nicht, wann eine Matrix
> positiv, bzw. negativ definit ist. Könnt Ihr mir das
> erklären?
du solltest auch dazu schreiben, welche Definition ihr denn verwendet, also eine Variante des Hurwitz-Kriteriums mit Hauptminoren oder so oder für spezielle Matrizen über die Eigenwerte oder wie?
bei wiki findest du auch einiges :
![[]](/images/popup.gif) Definitheit_von_Matrizen
Ich rate mal ins Blaue und sage dir, was Hauptminoren sind:
also Hauptminoren einer nxn Matrix sind alle [mm] $H_k=\det(A_k)$ [/mm] wobei [mm] A_k [/mm] die linken oberen Untermatrizen sind für alle k von 1 bis n.
Beispiel n=3
die Telefonmatrix [mm] $T=\pmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$
[/mm]
hat die drei Hauptminoren:
[mm] $H_1=\det(1)$
[/mm]
[mm] $H_2=\det(\pmat{1&2\\4&5})$
[/mm]
[mm] $H_3=\det(T)$
[/mm]
genau dann wenn alle diese Hauptminoren positiv sind
(und die Matrix symmetrisch wäre)
ist die Matrix positiv definit..
analog negativ definit gdw alle negativ
nochmals der Hinweis : ich habe T so gewählt, weil man da leicht die zu betrachtenden Untermatrizen sieht - die Matrix sollte natürlich zur Anwendung des Hurwitz-Kriteriums noch symmetrisch sein !!
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo,
das Verfahren mit den den Determinaten durchschaue ich 
Wir haben folgende Definition:
positiv semidefinit, wenn [mm] x^{t}Ax\ge0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR^{n} [/mm] \ {0} erfüllt ist
negativ semidefinit, wenn [mm] x^{t}Ax\le0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR^{n} [/mm] \ {0} erfüllt ist
indefinit, wenn A weder positiv, noch negativ semidefinit ist.
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Hmm, naja, da sagste's auch schon selbst:
Ist die Matrix A z.B. positiv semidefinit, dann ist der Funktionswert der durch A induzierten quadratischen Form stets größer gleich Null.
Eine andere Form, sich das Thema zu verdeutlichen, ist diese:
Du erinnerst Dich an Deine Schulmathematik? Sollte man dort eine Funktion [mm]f(x)[/mm] maximieren, berechnete man zuerst den Stationärpunkt und prüfte dann, ob die zweite Ableitung < 0 war. War dies der Fall, war die Funktion konkav und hatte an der berechneten Stelle tatsächlich ein Maximum.
Nun hat eine Funktion mehrerer Variablen, z.B. [mm]f(x,y)[/mm], mehrere "zweite Ableitungen", nämlich [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}[/mm], [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}[/mm] und [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}[/mm]. Alle zweiten Ableitungen in eine Matrix packen (sog. Hessematrix) und Definitheit bestimmen. Ist die Hessematrix negativ definit, so ist die Funktion [mm]f(x,y)[/mm] konkav, genau wie im zweidimensionalen Fall.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort... ich weiß ja, wie ich erkenne, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. Aber die Definitheit kann ich nicht ausrechnen. Ich werde aus der Regel nicht schlau.
Das Verfahren mit den positiven Determinanten der Matrix kann ich auch, dafür bekam ich in der letzten Klausur 7 Punkte von 12 abgezogen. Nur, weil ich das nicht nach dem Verfahren des Profs ermittelt habe. Könnt Ihr mir denn die Regel erklären, nach der er das ermittel?
Viele Grüße
Timo
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Hallo!
> vielen Dank für die Antwort... ich weiß ja, wie ich
> erkenne, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.
> Aber die Definitheit kann ich nicht ausrechnen. Ich werde
> aus der Regel nicht schlau.
>
> Das Verfahren mit den positiven Determinanten der Matrix
> kann ich auch, dafür bekam ich in der letzten Klausur 7
> Punkte von 12 abgezogen. Nur, weil ich das nicht nach dem
> Verfahren des Profs ermittelt habe. Könnt Ihr mir denn die
> Regel erklären, nach der er das ermittel?
Ich weiß auch nicht so ganz, wie genau du es jetzt machen möchtest. Stand da denn ein "Verfahren" angegeben? Evtl. habt ihr auch den Satz gehabt, dass eine Matrix genau dann positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte >0 sind!? Du müsstest dann also "nur" das charakteristische Polynom und die Eigenwerte ausrechnen, und wenn sie alle >0 sind, dann ist die Matrix positiv definit.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mo 23.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Lieber Timowob!
So wie ich das nun beurteilen kann, hast du deine Frage vielleicht ein bisschen ungenau formuliert, da man dies nicht abschätzen kann, wie das dein Professor macht. Eventuell wäre es klug ihn einmal zu fragen, wie er das haben will.
Fälligkeit leider abgelaufen ---> darum stelle ich auf Frage erledigt
Beste Grüße
Stefan
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Hm, ehrlich gesagt weiß ich nicht genau, was Du jetzt möchtest. Nochmal mit der quadratischen Form in zwei Variablen [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]:
[mm]f(x,y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2}[/mm] ist
positiv definit [mm]\gdw a >0, c>0, \vmat{ a & b \\ b & c } >0[/mm]
positiv semidefinit [mm]\gdw a \ge 0, c \ge 0, \vmat{ a & b \\ b & c } \ge 0[/mm]
negativ definit [mm]\gdw a <0, c<0, \vmat{ a & b \\ b & c } >0[/mm]
negativ semidefinit [mm]\gdw a \le 0, c \le 0, \vmat{ a & b \\ b & c } \ge 0[/mm]
indefinit [mm]\gdw \vmat{ a & b \\ b & c } <0[/mm]
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