de l'Hospital/sinh < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man berechne mittels der Regel von de l'Hospital [mm] lim_{x->x0} [/mm] f(x) mit
[mm] x_0 [/mm] = 0; f(x) = [mm] \frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)} [/mm] |
sinh (x) = [mm] \frac{e^x-(e)^{-x}}{2}
[/mm]
cosh(x) = [mm] \frac{e^x+(e)^{-x}}{2}
[/mm]
(sinh(x))'=cosh(x)
(sin(x))'=cos(x)
[mm] \frac{cosh(x)-cos(x)}{2*cosh(2x)-2*cos(2x)}= \frac{\frac{e^x+(e)^{-x}}{2} - cosx}{e^{2x}+(e)^{-2x}- 2cos(2x)}
[/mm]
wenn [mm] x->x_0 [/mm] geht ist der Limes gleich 0 oder?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 So 22.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo theresetom,
> Man berechne mittels der Regel von de l'Hospital
> [mm]lim_{x->x0}[/mm] f(x) mit
> [mm]x_0[/mm] = 0; f(x) = [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm]
> sinh (x) = [mm]\frac{e^x-(e)^{-x}}{2}[/mm]
> cosh(x) = [mm]\frac{e^x+(e)^{-x}}{2}[/mm]
>
> (sinh(x))'=cosh(x)
> (sin(x))'=cos(x)
>
> [mm]\frac{cosh(x)-cos(x)}{2*cosh(2x)-2*cos(2x)}= \frac{\frac{e^x+(e)^{-x}}{2} - cosx}{e^{2x}+(e)^{-2x}- 2cos(2x)}[/mm]
>
> wenn [mm]x->x_0[/mm] geht ist der Limes gleich 0 oder?
Nein. Und lass die Exponentialfunktion mal weg, die brauchst du hier nicht.
Du hast einen Grenzwert der Form "[mm]\frac{0}{0}[/mm]". Wenn du Zähler und Nenner ableitest (das mit den Kosinüssen), hast du wieder die Form "[mm]\frac{0}{0}[/mm]", denn "[mm]\frac{cosh(0)-cos(0)}{2*cosh(0)-2*cos(0)}=\frac{0}{0}[/mm]". Wende jetzt nochmal L'Hospital an!
Du musst natürlich noch zeigen (oder zumindest begründen), dass du die Regel von L'Hospital überhaupt anwenden DARFST...
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Ja das stimmt allerdings
Nochmals abgeleitet:
[mm] \frac{sinhx + sin x}{4*sinh(2x)+4*sin(2x)} [/mm]
bei [mm] x->x_0
[/mm]
Ist das nicht genauso 0/0 ?
|
|
|
| |
|
> Ja das stimmt allerdings
> Nochmals abgeleitet:
> [mm]\frac{sinhx + sin x}{4*sinh(2x)+4*sin(2x)}[/mm]
> bei [mm]x->x_0[/mm]
>
> Ist das nicht genauso 0/0 ?
Ja.
Also: nicht verzagen, weiterfahren !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
$ [mm] x_0 [/mm] $ = 0; f(x) = $ [mm] \frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)} [/mm] $
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] $ [mm] \frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)} [/mm] $ = 0/0
abgeleitet
$ [mm] \frac{cosh(x)-cos(x)}{2\cdot{}cosh(2x)-2\cdot{}cos(2x)}
[/mm]
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] $ [mm] \frac{cosh(x)-cos(x)}{2\cdot{}cosh(2x)-2\cdot{}cos(2x)} [/mm] = 0/0
nochmals ableiten
$ [mm] \frac{sinhx + sin x}{4\cdot{}sinh(2x)+4\cdot{}sin(2x)} [/mm] $
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] $ [mm] \frac{sinhx + sin x}{4\cdot{}sinh(2x)+4\cdot{}sin(2x)} [/mm] $ =0/0
Nochmals abgeleitet
$ [mm] \frac{coshx + cos x}{8\cdot{}cosh(2x)+8\cdot{}cos(2x)} [/mm] $
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] $ [mm] \frac{coshx + cos x}{8\cdot{}cosh(2x)+8\cdot{}cos(2x)} [/mm] $ = [mm] \frac{1+1}{8*1+8*1} [/mm] = 2/16 = 1/8
ich hoffe so ist es okay ;)
|
|
|
| |
|
> [mm]x_0[/mm] = 0; f(x) = [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm]
> [mm]lim_{x->x_0}[/mm] [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm] =
> 0/0
>
> abgeleitet
> [mm]\frac{cosh(x)-cos(x)}{2\cdot{}cosh(2x)-2\cdot{}cos(2x)}[/mm]
> [mm]lim_{x->x_0}[/mm]
> [mm]\frac{cosh(x)-cos(x)}{2\cdot{}cosh(2x)-2\cdot{}cos(2x)}[/mm] =
> 0/0
>
> nochmals ableiten
> [mm]\frac{sinhx + sin x}{4\cdot{}sinh(2x)+4\cdot{}sin(2x)}[/mm]
>
> [mm]lim_{x->x_0}[/mm] [mm]\frac{sinhx + sin x}{4\cdot{}sinh(2x)+4\cdot{}sin(2x)}[/mm]
> =0/0
>
> Nochmals abgeleitet
> [mm]\frac{coshx + cos x}{8\cdot{}cosh(2x)+8\cdot{}cos(2x)}[/mm]
> [mm]lim_{x->x_0}[/mm] [mm]\frac{coshx + cos x}{8\cdot{}cosh(2x)+8\cdot{}cos(2x)}[/mm]
> = [mm]\frac{1+1}{8*1+8*1}[/mm] = 2/16 = 1/8
>
> ich hoffe so ist es okay ;)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") genau !
Noch eine Bemerkung zur Schreibweise des Limes in Latex:
[mm]\limes_{x\to x_0}\ \frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm] (Klick auf die Formel !)
Schönen Nachmittag
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 22.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]x_0[/mm] = 0; f(x) = [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm]
> [mm]lim_{x->x_0}[/mm] [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm] =
> 0/0
das sollte man so nicht schreiben. Der Ausdruck [mm] $0/0\,$ [/mm] bleibt nach wie vor undefiniert. Entweder schreibst Du wenigstens [mm] $\ldots=$"$0/0\,$", [/mm] dann erkennt man, dass Du Dir bewußt bist, dass dieses [mm] "$0/0\,$" [/mm] hier nur etwas andeuten soll, oder Du schreibst (was ich besser finde):
"Beim Versuch, [mm] $\lim_{...}...$ [/mm] direkt zu berechnen, gelangt man erstmal auf einen Ausdruck der Form "$0/0$", so dass [mm] wir...$(\star)$ [/mm] "
> abgeleitet
Und das würde ich so auch nicht schreiben. Es kann verwirrend sein, ich würde dann nämlich erstmal denken, dass Du [mm] $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$ [/mm] benutzt. Führen wir also obigen Satz fort:
"... [mm] $(\star)$, [/mm] durch Ableiten der Zähler- und Nennerfunktion, im Hinblick auf Anwendung von de l'Hospital, auf die Berechnung des folgenden Grenzwertes kommen: ..."
Ich würde Dir auch alles, was Du geschrieben hast, nicht wirklich schlecht anrechnen. Die Frage ist nur - bei Deinen Formulierungen: Bist Du Dir sicher, dass Du, wenn Du, sagen wir mal in 10 Jahren nochmal, auf Deine Lösung guckst und vielleicht zwischendurch mal 5 Jahre nichts mit Mathe am Hut hattest, dass Dir klar ist, was Du da eigentlich getan hast? Oder wirst Du vielleicht doch erstmal da sitzen und sagen "Hm, eigentlich ist doch [mm] $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$... [/mm] was hab' ich da nochmal gerechnet?"
Meine Erfahrung zeigt, dass viele selbst erstmal ihre eigene Lösung nicht mehr ganz nachvollziehen können, weil sie nicht ganz sauber das formuliert haben, was sie meinten. Auch, wenn in dem Moment, wo man sich mit der Sache befaßt, man denkt: "Okay, das ist nicht ganz sauber, aber ich weiß ja, was ich tue!"
Ich finde, soviel extra Zeit kostet das nicht, einen Satz ein bisschen klarer zu formulieren, aber es kann einem viel Zeitkosten ersparen, wenn man das ganze irgendwann nochmal braucht.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
du hast natürlich recht - und ich war mit dem flotten
"Daumenhoch" etwas sehr großzügig. Zuerst wollte
ich eigentlich nur schreiben, dass das Ergebnis stimmt ...
LG Al
|
|
|
|
