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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Seien f und g: [mm] U_\varepsilon (x_0) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] differenzierbar und [mm] f(x_0)=g(x_0)=0, \exists lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
=> [mm] \exists lim_{x->x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] |
Bew:
[mm] x_n [/mm] -> [mm] x_0 [/mm] : [mm] \frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f(x_n) - f(x_0)}{g(x_n) - g(x_0)}
[/mm]
Verallgemeinerter MTW: für Jedes [mm] x_n \exists \varepsilon_n
[/mm]
[mm] \frac{f'(\varepsilon_n)}{g'(\varepsilon_n)}
[/mm]
[mm] \varepsilon_n [/mm] liegt zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_n
[/mm]
Wenn [mm] x_n [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert so konvergiert auch [mm] \varepsilon_n [/mm] gegen [mm] x_0
[/mm]
Mir fehlt jetzt aber auf den letzten schritt zu kommen.
UND vorallem wie ich darauf komme!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien f und g: [mm]U_\varepsilon (x_0)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] differenzierbar
> und [mm]f(x_0)=g(x_0)=0, \exists lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
>
> => [mm]\exists lim_{x->x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
>
> Bew:
> [mm]x_n[/mm] -> [mm]x_0[/mm] : [mm]\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f(x_n) - f(x_0)}{g(x_n) - g(x_0)}[/mm]
>
> Verallgemeinerter MTW: für Jedes [mm]x_n \exists \varepsilon_n[/mm]
>
> [mm]\frac{f'(\varepsilon_n)}{g'(\varepsilon_n)}[/mm]
>
> [mm]\varepsilon_n[/mm] liegt zwischen [mm]x_0[/mm] und [mm]x_n[/mm]
> Wenn [mm]x_n[/mm] gegen [mm]x_0[/mm] konvergiert so konvergiert auch
> [mm]\varepsilon_n[/mm] gegen [mm]x_0[/mm]
>
>
> Mir fehlt jetzt aber auf den letzten schritt zu kommen.
> UND vorallem wie ich darauf komme!
ich verstehe Dein Problem nicht, Du hast doch alles da stehen:
Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $U_\varepsilon(x_0)$ [/mm] mit [mm] $x_0 \not=x_n \to x_0\,.$ [/mm] Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz gibt es zu jedem [mm] $n\,$ [/mm] ein [mm] $\xi_n \in U_{|x_n-x_0|}(x_0) \setminus \{x_0\}$ [/mm] mit
[mm] $$\frac{f(x_n)-f(x_0)}{g(x_n)-g(x_0)}=\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)}\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $f(x_0)=g(x_0)=0$ [/mm] folgt
[mm] $$(\star)\;\;\;\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)}\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $\xi_n \in U_{|x_n-x_0|}(x_0) \setminus \{x_0\}$ [/mm] und [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt auch [mm] $\xi_n \to x_0\,.$
[/mm]
Bis hierhin steht eigentlich alles von Dir da.
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Nun wurde ja
[mm] $$\exists \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=:G$$
[/mm]
vorausgesetzt, und wegen [mm] $\xi_n \to x_0$ [/mm] existiert dann insbesondere
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)}\,,$$
[/mm]
und es gilt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)}=G\,.$$
[/mm]
Setze ich in die letztstehende Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] ein, so folgt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=G\,.$$
[/mm]
Fertig. (Eigentlich hast Du ja alles selbst fertig gehabt. Was Dir gefehlt hat, sind die kleinen Überlegungen nach dem langen Unterstrich!)
Gruß,
Marcel
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