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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Berechne Grenzwert von:
[mm] $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}}$ [/mm] |
Ich hab so angefangen:
[mm] $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{x-1}} [/mm] = [mm] \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} x^{\frac{2-x}{x-1}} [/mm] = ... = $
Genau das Schema kann ich jetzt durchziehen bis ich "alt" werde; es kommt nie ein richtiges Ergebnis raus. Was mach ich falsch?
PS: Hat das vielleicht wieder was mit der Definition der Potenz zu tun? Sprich: [mm] $x^x [/mm] = [mm] e^{x\cdot ln(x)}
[/mm]
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Hallo bandchef!
Welches Schema meinst Du? Was hast Du denn hier wie gerechnet? Das ist doch nicht nachvollziehbar.
Es gilt:
[mm]\lim_{x \to 1} x^{\bruch{1}{x-1}} \ = \ ... \ = \ \lim_{x \to 1} e^{\bruch{\ln(x)}{x-1}} \ = \ e^{\limes_{x \to 1}\bruch{\ln(x)}{x-1}}[/mm]
Und der Grenzwert des Exponenten lässt sich doch *ruck-zuck* bestimmen.
Gruß vom
Raodrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, auf genau das was du hier jetzt gezeigt hast, bin ich jetzt auch gestoßen 
$ [mm] \lim_{x \to 1} x^{\bruch{1}{x-1}} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \lim_{x \to 1} e^{\bruch{\ln(x)}{x-1}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\limes_{x \to 1}\bruch{\ln(x)}{x-1}} [/mm] $
Was ich nur noch nicht ganz verstehe, ist, warum ich den limes in die Potenz raufholen darf...
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Hallo bandchef,
> Hm, auf genau das was du hier jetzt gezeigt hast, bin ich
> jetzt auch gestoßen
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> [mm]\lim_{x \to 1} x^{\bruch{1}{x-1}} \ = \ ... \ = \ \lim_{x \to 1} e^{\bruch{\ln(x)}{x-1}} \ = \ e^{\limes_{x \to 1}\bruch{\ln(x)}{x-1}}[/mm]
>
> Was ich nur noch nicht ganz verstehe, ist, warum ich den
> limes in die Potenz raufholen darf...
Na, die Exponentialfunktion hat doch die wunderbare Eigenschaft, stetig zu sein!
Gruß
schachuzipus
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