de l'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
nur einmal ganz kurz für mich zur Sicherheit:
Mit der Regel von de l'Hospital können Grenzwerte der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] berechnet werden, die ansonsten schwierig zu behandeln wären. Also vorausgesetzt, dass zwei Funktionen f und g differenzierbar auf einem Intervall I \ {a} mit Häufungspunkt a sind, so ist klar, dass wenn lim f(x) und lim g(x) für x gegen a existieren und lim g(x) ungleich Null ist der Grenzwert "ganz normal" berechnet werden kann, bzw. wenn g(x) = 0 ist der Grenzwert an der Stelle a nicht existiert. Bleibt der Fall, dass sowohl lim f(x) und lim g(x) gleich Null sind für x gegen a, dann stellt sich die Frage nach der Existenz des Grenzwertes. Würde man einfach in diesem Fall den Quotienten [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] betrachten und für x den Wert a einsetzen, so würde man auf die unbestimmte [mm] \bruch{0}{0} [/mm] kommen. Und genau da greift die Regel de l'Hospital (mit der Voraussetzung g'(x) ungleich Null). Dazu müssen nun einfach Zähler und Nenner einfach durch ihre Ableitungen ersetzt und danach der Grenzwert ausgeführt werden.
Habe ich den Sinn und die Anwendung richtig wiedergegeben?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Fr 21.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna,
ich würde noch hinzufügen: Damit ich die Regel von de l'Hospital anwenden darf, muss der Grenzwert
[mm]\lim_{x\rightarrow a} \bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
existieren.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Antwort!
> ich würde noch hinzufügen: Damit ich die Regel von de
> l'Hospital anwenden darf, muss der Grenzwert
> [mm]\lim_{x\rightarrow a} \bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
> existieren.
Stimmt, das sollte in diesem Zusammenhang natürlich auch erwähnt werden. Aber ansonsten ist das alles so OK von mir "zusammengefaßt", also wenn ich das so in der Art sage wäre es korrekt?!
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Fr 21.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna,
deine Zusammenfassung ist soweit in Ordnung, bis auf zwei kleine Schwächen in der Formulierung:
- Was meinst du mit dem "Häufungspunkt a"?
- Wenn [mm]f(a)\not=0[/mm] und [mm]g(a)=0[/mm], dann kann es sein, dass der Grenzwert nicht existiert (Beispiel: 1/x bei x=0), es kann aber auch sein, dass er [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] ist (Beispiel: [mm]1/x^2[/mm] oder [mm]-1/x^2[/mm]).
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
entschuldige meine späte Antwort, doch ich war jetzt über eine Woche außer gefecht gesetzt, d.h. es waren auch über eine Woche keine Mathevorbereitungen möglich. Paßt ja immer super ins Timing sowas ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Nun denn, jetzt werd' ich mich mal wieder weiter darauf konzentrieren.
> deine Zusammenfassung ist soweit in Ordnung, bis auf zwei
> kleine Schwächen in der Formulierung:
> - Was meinst du mit dem "Häufungspunkt a"?
Damit meine ich, dass a ein Häufungspunkt von I sein muss. (Wäre er es nämlich nicht, so wäre die Funktion auch nicht stetig Fortsetzbar in a. Und bei de l'Hospital geht es ja darum, dass der Grenzwert der Quotienten [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] für x nach a durchaus existieren kann, d.h. dass sich [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] einer wohldefinierten Zahl annährt, wenn x gegen a strebt. Es handelt sich also sozusagen um eine "Definitionslücke", die stetig fortgesetzt werden kann. Und das geht halt nur, wenn a Häufungspunkt ist.) Ist das so in Ordnung??
> - Wenn [mm]f(a)\not=0[/mm] und [mm]g(a)=0[/mm], dann kann es sein, dass der
> Grenzwert nicht existiert (Beispiel: 1/x bei x=0), es kann
> aber auch sein, dass er [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] ist (Beispiel:
> [mm]1/x^2[/mm] oder [mm]-1/x^2[/mm]).
Ja, das stimmt wohl. Ich hatte bei meiner Erläuterung die Erweiterung des Grenzwertbegriffes, also die Fälle a:= [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] a:=-\infty [/mm] nicht berücksichtigt.
Vielen Dank,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 01.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> > deine Zusammenfassung ist soweit in Ordnung, bis auf zwei
> > kleine Schwächen in der Formulierung:
> > - Was meinst du mit dem "Häufungspunkt a"?
>
> Damit meine ich, dass a ein Häufungspunkt von I sein muss.
Ah, OK. Das habe ich falsch verstanden (auf die Funktionen f und g bezogen). 
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Mo 01.10.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Bastiane,
danke für Deine Antwort!
> Kleine Ergänzung:
>
> Du kannst
> ![[]](/images/popup.gif) l'Hospital
> auch anwenden, wenn Zähler und Nenner gegen [mm]\infty[/mm] gehen.
Ja, ich hatte nur bei meiner Formulierung die Erweiterung des Grenzwertbegriffes auf [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] außen vor gelassen. Aber das sollte ich natürlich auch erwähnen.
Viele Grüße,
Anna
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Danke nochmals!
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
