das kanonische Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit dem kanonischen Skalarprodukt. Sei U [mm] \subseteq [/mm] V ein Unterraum.
i) Zeigen Sie: [mm] U^{\perp} [/mm] ist ein Unterraum von V.
ii) Zeigen Sie: V = [mm] U\oplus U^{\perp}. [/mm] |
Ich habe keine Ahnung was ich hier machen muss.
Ich weis schon was der kanonische Skalarprodukt ist? was ist aber ein Vektorraum mit kanonischem Skalarprodukt?
Und was heißt [mm] U^{\perp} [/mm] ?
Brauche dringend Hlfe.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mi 08.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
$ [mm] U^{\perp} [/mm] $ ist der auf U senkrecht stehende Raum, d.h.
$ [mm] U^{\perp} [/mm] = [mm] \{ u' | u' \perp u\quad \forall u\in U \}= \{ u' | < u', u >=0\quad \forall u\in U \}$
[/mm]
und so kommt das Skalarprodukt da auch mit rein...
ja, du musst jetzt dann wohl die paar Axiome nachweisen, wobei du hoffentlich benutzen darfst, dass das Skalarprodukt bilinear (also linear in beiden Komponenten ist...)
und bei ii) musst du halt zeigen, dass 0 in beiden UVR enthalten ist und sonst nichts (das geht ja fix) und zum anderen noch, dass jeder Vektor aus V entweder in U liegt oder in V
(Stichwort : Basisergänzungssatz)
versuch dich mal daran
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Edi1982 |
Danke für die guten Tipps.
Ich glaube damit komme ich weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 12.02.2006 | | Autor: | Edi1982 |
Also i) habe ich jetzt, ist wirklich nicht schwer.
Bei ii) habe ich nun gezeigt, dass nur 0 in beiden UVR enthalten ist und sonst nichts.
Aber wie zeige ich, dass jedes Vektor aus V entweder in U oder in [mm] U^{\perp} [/mm] liegt.
Ich brauche dringend Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Mo 13.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich hatte mich da ein bischen dumm ausgedrückt.
Um es mal richtig zu machen:
Du musst zeigen, dass es zu jedem v aus V ein u aus U und u' aus $ [mm] U^{\perp} [/mm] $ gibt, so dass :
$v=s*u+t*u'$ für $s,t [mm] \in\IR$ [/mm] .
Dazu benutzt du am besten den basisergänzungssatz:
U hat eine Basis und $ [mm] U^{\perp} [/mm] $ auch, also ergänze die Basis von U mit einer von $ [mm] U^{\perp} [/mm] $ - mache sie am besten noch orthonormal oder so.
wieso ist die ergänzte Basis gleich einer Basis von V ?
wie sehen dann also die Vektoren u und u' in dieser Basisdarstellung aus ?
viele Grüße
DaMenge
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