das Taylorpolynom in R2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 20.05.2009 | | Autor: | tony1v |
| Aufgabe | Sei [mm] x_{0} =(x_{1}^0,y_{1}^0) [/mm] ein fester Punkt und f eine zweimal stetig differenzierbare
Funktion auf dem [mm] R^2. [/mm] Fuer beliebiges x [mm] \in R^2 [/mm] sei sei x − [mm] x_{0} [/mm] =: h = [mm] (h_{1}, h_{2}) [/mm] und [mm] \alpha_{h} :\IR \to \IR^2
[/mm]
definiert durch [mm] \alpha_{h}(t) [/mm] := [mm] x_0 [/mm] + th. Dann nennt man:
[mm] T_{2}f(x_0 [/mm] + h) := [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] \nabla f(x_0) [/mm] h + [mm] \bruch{1}{2}h [/mm] · [mm] H_{f} (x_0) [/mm] · [mm] h^T
[/mm]
das Taylorpolynom 2. Ordnung von f in [mm] x_0. [/mm] Fuer v = [mm] (v_1, v_2) \in \IN× \IN [/mm] sei |v| = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2,
[/mm]
v! := [mm] v_1!v_2!, h^v :=h_1^{v_1}h_2^{v_2} [/mm] und [mm] D^vf(x_0) [/mm] := [mm] D_1^{v_1}D_2^{v_2}f(x_0).
[/mm]
zeigen Sie:
[mm] T_{2}f(x) [/mm] = [mm] \summe_{|v|\le2} \bruch{1}{v!} D^vf(x_{0}).(x-x_{0})^v [/mm] |
ich weiss nicht was v! bedeutet ich kann nichts anfangen hier ich bitte für jede helfe dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]x_{0} =(x_{1}^0,y_{1}^0)[/mm] ein fester Punkt und f eine
> zweimal stetig differenzierbare
> Funktion auf dem [mm]R^2.[/mm] Fuer beliebiges x [mm]\in R^2[/mm] sei sei
> x − [mm]x_{0}[/mm] =: h = [mm](h_{1}, h_{2})[/mm] und [mm]\alpha_{h} :\IR \to \IR^2[/mm]
>
> definiert durch [mm] \alpha_{h}(t)[/mm] := [mm]x_0[/mm] + th. Dann nennt
> man:
>
> [mm]T_{2}f(x_0[/mm] + h) := [mm]f(x_{0})[/mm] + [mm]\nabla f(x_0)[/mm] h +
> [mm]\bruch{1}{2}h[/mm] · [mm]H_{f} (x_0)[/mm] · [mm]h^T[/mm]
>
> das Taylorpolynom 2. Ordnung von f in [mm]x_0.[/mm] Fuer v = [mm](v_1, v_2) \in \IN× \IN[/mm]
> sei |v| = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2,[/mm]
> v! := [mm]v_1!v_2!, h^v :=h_1^{v_1}h_2^{v_2}[/mm] und [mm]D^vf(x_0)[/mm]
> := [mm]D_1^{v_1}D_2^{v_2}f(x_0).[/mm]
> zeigen Sie:
>
> [mm]T_{2}f(x)[/mm] = [mm]\summe_{|v|\le2} \bruch{1}{v!} D^vf(x_{0}).(x-x_{0})^v[/mm]
>
> ich weiss nicht was v! bedeutet ich kann nichts anfangen
Wer lesen kann ist im Vorteil ! Oben steht doch:
Fuer $v = [mm] (v_1, v_2) \in \IN× \IN [/mm] $:
$v! [mm] =v_1!v_2!$
[/mm]
Beispiel: $v =(2,3)$: $v! = 2!*3! = 2*6 = 12$
FRED
> hier ich bitte für jede helfe dankbar
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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