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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Vielleicht kann mir irgendjemand sagen, was ich bei der Eingabe ändern muss, damit das hier so aussieht, wie es aussehen soll!? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Falls man es sich nicht denken kann, was es bedeuten soll, dann einfach drauf klicken und den Quelltext angucken. Sorry, für diese Schreibweise, aber ich hoffe, mir kann endlich mal jemand sagen, wieso das hier so komisch ist. Sonst bekomme ich das mit den Formeln ja eigentlich immer hin...
Hier noch eine Aufgabe:
Für [mm] n\in\IN [/mm] sei [mm] V_n=span(1,...,t^n)\subset\IR[/mm] [t] mit der Basis [mm] \cal{B} [/mm] _n [mm] =(1,...,t^n) [/mm] und [mm] \cal{D} [/mm] _n [mm] :V_n\to V_{n-1}, f\mapsto [/mm] f' der Ableitungshomomorphismus.
a) Bestimmen Sie die Matrix [mm] \cal{M}_{\cal{B}_{n-1}}^{\cal{B}_n} (\cal{D}_{n}). [/mm] (Häh? Warum schreibt der das so komisch? Kann man erkennen, was gemeint ist? Sorry...)
Da habe ich nur ein kleines Problem mit der ersten Spalte: die 1 wird doch auf die 0 abgebildet. Aber die 0 kann ich doch nur als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen, wenn alle Koeffinzienten =0 sind, also würde ich in der Darstellungsmatrix dann als erste Spalte eine 0 erhalten!? Ansonsten ergibt das eine Matrix wo auf der ersten Nebendiagonalen oberhalb der Hauptdiagonalen (sagt man das so?) die Zahlen von 1 bis n stehen, also 1,2,3,4,...,n. Das stimmt doch, oder? (Oder, falls das mit der Nullspalte verkehrt ist, stehen dann die Elemente wohl auf der Hauptdiagonalen...)
b) Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung [mm] \cal{I_n}: V_{n-1}\to V_n [/mm] gibt mit [mm] \cal{D_n}\circle\cal{I_n}=id, [/mm] und bestimmen Sie [mm] \cal{M_{\cal{B_n}^{b_{n-1}}}}(\cal{I_n}).
[/mm]
Hier hätte ich dann wiederum das Problem mit der ersten Spalte, meiner Meinung nach käme da wieder eine Nullspalte hin... Ansonsten stehen aber überall auf der Diagonalen 1, [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},...,\bruch{1}{n}. [/mm]
So, soweit ich mich recht erinnere, und es scheint mir auch irgendwie Sinn zu machen, müsste das Produkt dieser beiden Abbildungen nun genau die Identität ergeben. Mit meinen zwei komischen Nullspalten da vorne käme dann allerdings auch bei dem Produkt eine Nullspalte nach vorne... Wenn die beiden Nullspalten wegfallen, dann bekomme ich auch die Identität heraus. Aber warum gehören denn die Nullspalten da nicht hin? Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Do 08.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo!
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> Vielleicht kann mir irgendjemand sagen, was ich bei der
> Eingabe ändern muss, damit das hier so aussieht, wie es
> aussehen soll!? Falls man es sich nicht denken kann,
Ich weiss auch nicht so recht, aber offenbar interprtiert die cal-Funktion die schliessende geschweifte Klammer nicht richtig.
> was es bedeuten soll, dann einfach drauf klicken und den
> Quelltext angucken. Sorry, für diese Schreibweise, aber ich
> hoffe, mir kann endlich mal jemand sagen, wieso das hier so
> komisch ist. Sonst bekomme ich das mit den Formeln ja
> eigentlich immer hin...
>
>
> Hier noch eine Aufgabe:
>
> Für [mm] $n\in\IN$ [/mm] sei [mm] $V_n=span(1,...,t^n)\subset\IR$[/mm] [t]mit der Basis [mm]\cal B[/mm][mm]_n = (1,...,t^n)[/mm]
> und [mm]\cal D[/mm][mm]_n :V_n\to V_{n-1}, f\mapsto f'[/mm] der Ableitungshomomorphismus.
>
> a) Bestimmen Sie die Matrix [mm] $\cal [/mm] M$[mm]_{$\cal B$_{n-1}}^{$\cal B$_n} ($\cal D$_{n}).[/mm] (Häh? Warum schreibt der das so komisch? Kann man erkennen, was gemeint ist? Sorry...)
>
> Da habe ich nur ein kleines Problem mit der ersten Spalte: die 1 wird doch auf die 0 abgebildet. Aber die 0 kann ich doch nur als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen, wenn alle Koeffinzienten =0 sind, also würde ich in der Darstellungsmatrix dann als erste Spalte eine 0 erhalten!?
Ja, das heisst, die erste Spalte besteht aus lauter Nullen.
Ansonsten ergibt das eine Matrix wo auf der ersten Nebendiagonalen oberhalb der Hauptdiagonalen (sagt man das so?) die Zahlen von 1 bis n stehen, also 1,2,3,4,...,n. Das stimmt doch, oder? (Oder, falls das mit der
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nullspalte verkehrt ist, stehen dann die Elemente wohl auf der Hauptdiagonalen...)
Nein, es ist ganz korrekt, wie du es gemacht hast!
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> b) Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung [mm]\cal{I_n}: V_{n-1}\to V_n[/mm] gibt mit [mm]\cal{D_n}\circle\cal{I_n}=id,[/mm] und bestimmen Sie [mm]\cal{M_{\cal{B_n}^{b_{n-1}}}}(\cal{I_n}).[/mm]
>
> Hier hätte ich dann wiederum das Problem mit der ersten Spalte, meiner Meinung nach käme da wieder eine Nullspalte hin... Ansonsten stehen aber überall auf der Diagonalen 1, [mm]\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},...,\bruch{1}{n}.[/mm]
>
Nein, das stimmt nicht.
Mit dieser Matrix kannst du ja die Umkehrung des Differenzierens bewerkstelligen, sprich: integrieren.
Um die Matrix zu bestimmen, brauchst du ja nur die Basisfunktionen zu integrieren. Die integrierten Funktionen stehen dann als Spalten in der gesuchten Matrix.
Ein Beispiel: (ich nehme für n den Wert 4)
Die Funktion [mm] $t^2$ [/mm] (das ist die dritte Basisfunktion (Basisvektor)) wird abgebildet auf die Funktion [mm] $\bruch{1}{3}t^3+c$ [/mm] (das ist $c_$ mal der erste Basisvektor plus ein Drittel mal der vierte Basisvektor)
Als Vektoren geschrieben:
[mm] $\vektor{0\\0\\1\\0} \to \vektor{c\\0\\0\\ \bruch{1}{3}\\0}$
[/mm]
Das wäre also die 3. Spalte (weil es ja das Bild des dritten Basisvektors ist)
Ich denke, die Matrix [mm] $\cal [/mm] I$ (wieder für n=4) müsste dann so aussehen:
[mm] $\pmat{ c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{4}}$ [/mm]
Die verschiedenen [mm] $c_i$ [/mm] sind die Integrationskonstanten. Sie müssen natürlich als erste Komponente stehen, weil es ja Konstanten sind.
Ich denke, du kannst jetzt ohne Weiteres nachprüfen, ob die beiden Matrizen bei Multiplikation die gesuchte Einheitsmatrix bilden. 
> So, soweit ich mich recht erinnere, und es scheint mir auch irgendwie Sinn zu machen, müsste das Produkt dieser beiden Abbildungen nun genau die Identität ergeben. Mit meinen zwei komischen Nullspalten da vorne käme dann allerdings auch bei dem Produkt eine Nullspalte nach vorne... Wenn die beiden Nullspalten wegfallen, dann bekomme ich auch die Identität heraus. Aber warum gehören denn die Nullspalten da nicht hin? Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Also in der ersten Matrix für [mm] $\cal [/mm] D$ gehört sie ja schon hin, weil ja die Ableitung der konstanten Funktion die Nullfunktion ergibt! Bei der zweiten Matrix für [mm] $\cal [/mm] I$ hingegen nicht, wegen der Integrationskonstanten.
Ich hoffe, es ist einigermassen klar geworden?
Falls nicht, solltes du es gemäss Hannos Tipp machen: rechne das Ganze einmal für ein kleines n aus. Ich habe zum Beispiel auf meinem Schmierzettel n=4 genommen. Dort sieht die Kontrolle etwa so aus:
[mm] $\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &4 }*\pmat{ c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{4}}=\pmat{ 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }$
[/mm]
Einigermassen verständlich?
Herzlichst
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Do 08.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
Vielen Dank für deine Antwort - ich glaube, es ist jetzt klar.
> > Hier noch eine Aufgabe:
> >
> > Für [mm]n\in\IN[/mm] sei [mm]V_n=span(1,...,t^n)\subset\IR[/mm] [t]mit der Basis [mm]\cal B[/mm][mm]_n = (1,...,t^n)[/mm]
> > und [mm]\cal D[/mm][mm]_n :V_n\to V_{n-1}, f\mapsto f'[/mm] der Ableitungshomomorphismus.
> >
> > a) Bestimmen Sie die Matrix [mm]\cal M[/mm][mm]_{$\cal B$_{n-1}}^{$\cal B$_n} ($\cal D$_{n}).[/mm] (Häh? Warum schreibt der das so komisch? Kann man erkennen, was gemeint ist? Sorry...)
> >
> > Da habe ich nur ein kleines Problem mit der ersten Spalte: die 1 wird doch auf die 0 abgebildet. Aber die 0 kann ich doch nur als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen, wenn alle Koeffinzienten =0 sind, also würde ich in der Darstellungsmatrix dann als erste Spalte eine 0 erhalten!?
>
> Ja, das heisst, die erste Spalte besteht aus lauter Nullen.
>
> Ansonsten ergibt das eine Matrix wo auf der ersten Nebendiagonalen oberhalb der Hauptdiagonalen (sagt man das so?) die Zahlen von 1 bis n stehen, also 1,2,3,4,...,n. Das stimmt doch, oder? (Oder, falls das mit der
>
>
>
> Nullspalte verkehrt ist, stehen dann die Elemente wohl auf der Hauptdiagonalen...)
>
> Nein, es ist ganz korrekt, wie du es gemacht hast!
>
> >
> > b) Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung [mm]\cal{I_n}: V_{n-1}\to V_n[/mm] gibt mit [mm]\cal{D_n}\circle\cal{I_n}=id,[/mm] und bestimmen Sie [mm]\cal{M_{\cal{B_n}^{b_{n-1}}}}(\cal{I_n}).[/mm]
> >
> > Hier hätte ich dann wiederum das Problem mit der ersten Spalte, meiner Meinung nach käme da wieder eine Nullspalte hin... Ansonsten stehen aber überall auf der Diagonalen 1, [mm]\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},...,\bruch{1}{n}.[/mm]
> >
>
> Nein, das stimmt nicht.
>
> Mit dieser Matrix kannst du ja die Umkehrung des Differenzierens bewerkstelligen, sprich: integrieren.
>
> Um die Matrix zu bestimmen, brauchst du ja nur die Basisfunktionen zu integrieren. Die integrierten Funktionen stehen dann als Spalten in der gesuchten Matrix.
Irgendwo hier lag mein Fehler, ich weiß nicht genau, was ich da machen wollte, aber irgendwie wollte ich die Nullfunktion oder so integrieren. Und da wäre bei mir dann wieder 0 rausgekommen... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Aber jetzt weiß ich, dass ich ja auf die Basen achten muss. Hatte zuerst auch glaube ich gar nicht so genau gemerkt, dass ich hier ja jetzt zwei verschiedene Basen habe...
> Ein Beispiel: (ich nehme für n den Wert 4)
>
> Die Funktion [mm]t^2[/mm] (das ist die dritte Basisfunktion (Basisvektor)) wird abgebildet auf die Funktion [mm]\bruch{1}{3}t^3+c[/mm] (das ist [mm]c_[/mm] mal der erste Basisvektor plus ein Drittel mal der vierte Basisvektor)
>
> Als Vektoren geschrieben:
>
> [mm]\vektor{0\\0\\1\\0} \to \vektor{c\\0\\0\\ \bruch{1}{3}\\0}[/mm]
>
> Das wäre also die 3. Spalte (weil es ja das Bild des dritten Basisvektors ist)
>
> Ich denke, die Matrix [mm]\cal I[/mm] (wieder für n=4) müsste dann so aussehen:
>
> [mm]\pmat{ c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Die verschiedenen [mm]c_i[/mm] sind die Integrationskonstanten. Sie müssen natürlich als erste Komponente stehen, weil es ja Konstanten sind.
Und die Konstanten hatte ich auch vergessen. Aber das wäre mir noch nicht mal aufgefallen, denn die werden ja sowieso bei der Probe nur mit 0 multipliziert. Aber jetzt sehe ich auch, warum die Nullspalte in der ersten Matrix natürlich richtig ist - damit die Konstanten zu 0 gemacht werden. 
> Ich denke, du kannst jetzt ohne Weiteres nachprüfen, ob die beiden Matrizen bei Multiplikation die gesuchte Einheitsmatrix bilden.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> > So, soweit ich mich recht erinnere, und es scheint mir auch irgendwie Sinn zu machen, müsste das Produkt dieser beiden Abbildungen nun genau die Identität ergeben. Mit meinen zwei komischen Nullspalten da vorne käme dann allerdings auch bei dem Produkt eine Nullspalte nach vorne... Wenn die beiden Nullspalten wegfallen, dann bekomme ich auch die Identität heraus. Aber warum gehören denn die Nullspalten da nicht hin? Kann mir das vielleicht jemand erklären?
>
> Also in der ersten Matrix für [mm]\cal D[/mm] gehört sie ja schon hin, weil ja die Ableitung der konstanten Funktion die Nullfunktion ergibt! Bei der zweiten Matrix für [mm]\cal I[/mm] hingegen nicht, wegen der Integrationskonstanten.
>
> Ich hoffe, es ist einigermassen klar geworden?
>
> Falls nicht, solltes du es gemäss Hannos Tipp machen: rechne das Ganze einmal für ein kleines n aus. Ich habe zum Beispiel auf meinem Schmierzettel n=4 genommen. Dort sieht die Kontrolle etwa so aus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &4 }*\pmat{ c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{4}}=\pmat{ 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Einigermassen verständlich?
Ja, alles super und verstanden. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") Danke.
Viele Grüße in die Schweiz
Christiane
![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
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