darstellende Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mo 10.12.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Seien [mm] p_{1}, p_{2}, p_{3} \in \IR_{\le 2}[x] [/mm] gegeben durch
[mm] p_{1}(x)=2, p_{2}(x)=2x+1, p_{3}(x)=x^{2}+x.
[/mm]
Sei die lineare Abbildung L: [mm] \IR_{\le 2}[x] \to \IR_{\le 2}[x] [/mm] definiert durch
L(p)=p' , wobei p' die Ableitung von p bezeichnet.
a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm] A_{L} [/mm] von L bezüglich der Basis [mm] p_{1}, p_{2}, p_{3} [/mm] des [mm] \IR_{\le 2}[x].
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren und Eigenwerte von L und jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte. |
a)
Mein Ansatz geht so, dass ich die Polynome der gegebenen Basis in die Abbildung reingesteckt habe:
[mm] L(p_{1})= [/mm] 0 = [mm] 0p_{1}+0p_{2}+0p_{3}
[/mm]
[mm] L(p_{2})= [/mm] 0 = [mm] 1p_{1}+0p_{2}+0p_{3}
[/mm]
[mm] L(p_{3})= [/mm] 0 = [mm] 0p_{1}+1p_{2}+0p_{3}
[/mm]
Folglich ist [mm] A_{L}= \pmat{ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0&0 \\ 0&1&0}
[/mm]
Stimmt das?
(ist irgendwie zu leicht... ;)
b)
Ich wüsste jetzt eigentlich nur, wie ich die Eigenwerte und -vektoren von [mm] A_{L} [/mm] bestimmen könnte, aber nicht von L...
Oder ist das das gleiche?
In dem Fall:
Eigenwerte:
[mm] p_{L}(\lambda)=(L-\lambda E_{3}) [/mm] = [mm] -\lambda^{3} [/mm]
[mm] (E_{n} [/mm] sei die Einheitsmatrix)
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=0 [/mm] mit alg. Vielf. "3"
Eigenvektoren:
Löse folgendes Gleichungssystem:
[mm] (L-0\*E_{3})v=0
[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]Lv=0[/mm] (also Kern bestimmen)
[mm] \Rightwarrow v=\vektor{0 \\ 0\\ 1}
[/mm]
[mm] \Rightwarrow \lambda_{1}=0 [/mm] hat geom. Vielf. 1
Richtig?
Irgendein Gefühl sagt mir allerdings, dass ich aber mehr Eigenvektoren erhalten sollte... also das die geometrische Vielfachheit größer ist...
Vielen Dank schon mal vorab ;)
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Hallo JanJan,
> Seien [mm]p_{1}, p_{2}, p_{3} \in \IR_{\le 2}[x][/mm] gegeben durch
> [mm]p_{1}(x)=2, p_{2}(x)=2x+1, p_{3}(x)=x^{2}+x.[/mm]
>
> Sei die lineare Abbildung L: [mm]\IR_{\le 2}[x] \to \IR_{\le 2}[x][/mm]
> definiert durch
> L(p)=p' , wobei p' die Ableitung von p bezeichnet.
>
> a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm]A_{L}[/mm] von L
> bezüglich der Basis [mm] \red{\{}p_{1}, p_{2}, p_{3}\red{\}} [/mm] des [mm]\IR_{\le 2}[x].[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren und Eigenwerte von L und
> jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der
> Eigenwerte.
> a)
> Mein Ansatz geht so, dass ich die Polynome der gegebenen
> Basis in die Abbildung reingesteckt habe:
>
> [mm]L(p_{1})=[/mm] 0 = [mm]0p_{1}+0p_{2}+0p_{3}[/mm]
> [mm]L(p_{2})=[/mm] 0 = [mm]1p_{1}+0p_{2}+0p_{3}[/mm]
> [mm]L(p_{3})=[/mm] 0 = [mm]0p_{1}+1p_{2}+0p_{3}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Folglich ist [mm] A_{L}= \pmat{ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0&0 \\ 0&1&0} [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Koordinatenvektoren bilden doch die Spalten von [mm] $A_L$
[/mm]
Du musst deine Matrix also nur transponieren, dann passt's 
> Stimmt das? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (ist irgendwie zu leicht... ;)
>
> b)
> Ich wüsste jetzt eigentlich nur, wie ich die Eigenwerte
> und -vektoren von [mm]A_{L}[/mm] bestimmen könnte, aber nicht von
> L...
> Oder ist das das gleiche?
Das ist ja der Sinn der Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $L$.
>
> In dem Fall:
>
> Eigenwerte:
>
> [mm]p_{L}(\lambda)=(\red{A_L}-\lambda E_{3})[/mm] = [mm]-\lambda^{3}[/mm]
>
> [mm](E_{n}[/mm] sei die Einheitsmatrix)
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=0[/mm] mit alg. Vielf. "3"
>
>
> Eigenvektoren:
> Löse folgendes Gleichungssystem:
> [mm](\red{A_L}-0\*E_{3})v=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]L\red{(}v\red{)}=0[/mm] (also Kern bestimmen)
Allg. [mm] $(A_L-\lambda\cdot{}\mathbb{E})\cdot{}v=0\gdw A_L\cdot{}v-\lambda\cdot{}\mathbb{E}\cdot{}v=0\gdw \underbrace{A_L\cdot{}v}_{=L(v)}=\lambda\cdot{}v$
[/mm]
> [mm]\Rightwarrow v=\vektor{0 \\ 0\\ 1}[/mm]
> [mm]\Rightwarrow \lambda_{1}=0[/mm]
> hat geom. Vielf. 1
>
> Richtig?
fast
Dein Vorgehen ist genau richtig, nur auf die falsche Abbildungsmatrix angewendet.
Der Eigenwert bleibt derselbe in derselben Vielfachheit, nur der Eigenvektor zu [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist ein anderer.
Seine geometr. VFH ist aber auch 1
> Irgendein Gefühl sagt mir allerdings, dass ich aber mehr
> Eigenvektoren erhalten sollte... also das die geometrische
> Vielfachheit größer ist...
Warum, es muss doch nur immer gelten, dass [mm] 1\le [/mm] geometr. VFH [mm] \le [/mm] algebr. VFH
Und das ist ja hier der Fall
> Vielen Dank schon mal vorab ;)
Also bis auf Vertauschung von Zeilen und Spalten und dem damit verbundenen anderen Ergebnis für den Eigenvektor ist alles ok
LG
schachuzipus
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