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| Aufgabe | Seien [mm] A=\pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 } \in M_{n}(\IR) [/mm] und [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ -2 \\ 1}, v_{2}=\vektor{2 \\ -3 \\ 2}, v_{3}=\vektor{-1 \\ 5 \\ 0}.
[/mm]
Berechne die darstellende Matrix von [mm] f_{A}:\IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] bezueglich der Basis [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}. [/mm] |
Hallo allerseits,
ich habe zwei moegliche Loesungswege, und der den rich am wahrscheinlichsten halte ist wahrscheinlich falsch. Es ware also sehr natt von euch, wenn ihr mir vielleicht meine Fehler auszeigen koenntet.
Also erst mal mein erster Loesungsweg, der eigentlich stimmen koennte, wenn nicht jemand was anderes gesagt haette.
Die Matrix A bildet von dem [mm] \IR^{3} [/mm] auf den [mm] \IR^{3} [/mm] ab. [Wenn sie das tut, warum ist das dann nicht schon die darstellende Matrix?]
Nach einer Bemerkung aus der Vorleung:
[mm] f(v_{j})= [/mm] j-te Koordinatenspalte der darstellenden Matrix.
Hier habe ich aber ein [mm] f_{A}(v_{j})=A(v_{j})
[/mm]
Das heisse doch, wenn ich die Matrix mit den [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}. [/mm] nacheinander multipliziere, erhalte ich die Spalte der darstellenden Matrix.
Danach waere die darstellende Martix B= [mm] \pmat{ -1 & -2 & -2 \\ -9 & -14 & 19 \\ -5 & -7 & 15 }
[/mm]
Sieht irgendwie doof aus.
Ich finde das eigentlich so sehr einleuchtend.
Nun der zweite Loesungsweg:
Diesen Ansatz kann ich nicht begruenden. Er ist nach einem Schema welches wir in einer Aufgabe im Tutorium hatten:
Ich schreibe die Matrix A auf die eine Seite, und daneben eine Matrix aus den [mm] v_{j}.
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 } \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }
[/mm]
Nun forme ich das mit elemantaren Zeilenumforumungen so um, dass links die Einheitsmatrix steht. Dann stuende rechts die darfstellende Matrix die die [mm] v_{j} [/mm] furch die Matrix A auf sich selber abbildet.
Ja, ich bin verwirrt!
Hier waere B= [mm] \pmat{ \bruch{40}{11} & \bruch{61}{11} & -2 \\ -\bruch{4}{11} & -\bruch{6}{11} & \bruch{5}{8} \\ \bruch{23}{11} & \bruch{40}{11} & -3 }
[/mm]
Koennt ihr mir helfen, diese Aufgabe zu entwirren?
Vielen Dank!
Sara
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 20.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Sara,
lies dir mal erstmal diesen Artikel durch:  Transformationsformel
(insbesondere die einfacheren Spezialfälle und das Beispiel)
> bezueglich der Basis [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}.[/mm]
diese Basis nenne ich jetzt mal N.
> Die Matrix A bildet von dem [mm]\IR^{3}[/mm] auf den [mm]\IR^{3}[/mm] ab.
> [Wenn sie das tut, warum ist das dann nicht schon die
> darstellende Matrix?]
Jede Matrix ist eine Darstellung der Abbildung - es kommt halt darauf an, welche Basis du zur Darstellung wählst !
Die Matrix A sei also mal bzgl einer kanonischen Basis K die darstellende Matrix von f.
> Nach einer Bemerkung aus der Vorleung:
> [mm]f(v_{j})=[/mm] j-te Koordinatenspalte der darstellenden
> Matrix.
ja, die Bilder der Basisvektoren stehen als Spalten in der Darstellungsmatrix, aber die wichtige Frage hier ist : bezgl welcher Basis stehen sie da?
du musst die Bilder der Basisvektoren von N noch in die Basisdarstellung von N umrechnen, erst dann hast du die richtigen Spalten!
(denn die Bilder der Matrix von A werden ja bzgl K ausgegeben)
> Das heisse doch, wenn ich die Matrix mit den [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}.[/mm]
> nacheinander multipliziere, erhalte ich die Spalte der
> darstellenden Matrix.
>
> Danach waere die darstellende Martix B= [mm]\pmat{ -1 & -2 & -2 \\ -9 & -14 & 19 \\ -5 & -7 & 15 }[/mm]
dir ist schon klar, dass du folgenes gerechnet hast:
[mm]\pmat{ -1 & -2 & -2 \\ -9 & -14 & 19 \\ -5 & -7 & 15 }=\pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 } \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }[/mm]
d.h die Matrix, die du da raus bekommen hast ist eigentlich [mm] $M_K^N(f)$, [/mm] also die darstellende Matrix von f, die als eingang einen vektor bzgl N erwartet und als Ergebnis das Bild (von f) des Vektors bzgl K ausgibt.
Aber was du eigentlich willst, ist: [mm] $M_N^N(f)$
[/mm]
was du also eigentlich berechnen musst ist folgendes Produkt:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }^{-1} *\pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }$
[/mm]
(die inverse auf der linken Seite wandelt nämlich einfach einen Vektor der bzgl K gegeben ist in denselben Vektor nur bzgl N um, solch eine Matrix nennt man Transformationsmatrix (den link am besten auch mal lesen))
> Ich schreibe die Matrix A auf die eine Seite, und daneben
> eine Matrix aus den [mm]v_{j}.[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 } \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }[/mm]
>
> Nun forme ich das mit elemantaren Zeilenumforumungen so um,
> dass links die Einheitsmatrix steht.
ähm, durch dieses Verfahren berechnest du auf der rechten Seite nur:
[mm] $\pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 }^{-1} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }$
[/mm]
(überleg dir mal warum, wenn dir der begriff der Elementarmatrizen bekannt ist)
also das stimmt irgendwie nicht so wirklich - jedenfalls sehe ich nicht, wie das zum Ziel führen sollte...
Wenn du allerdings die RECHTE Matrix zur einheitsmatrix machen würdest, dann würdest du links ja folgendes berechnen:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }^{-1} [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 }$
[/mm]
also hätte man damit die Matrix [mm] $M_N^K(f)$ [/mm] , diese müsste man also noch rechts mit der Matrix der Vektoren [mm] v_j [/mm] multiplizieren um [mm] $M_N^N(f)$ [/mm] zu bekommen...
also beide Ansätze sind (wenn der zweite wie eben beschrieben modifiziert würde) nicht vollständig, weil immer noch eine Matrix als Faktor fehlt, deshalb schreibe ich nochmal, was du berechnen musst:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }^{-1} *\pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 5 & 0 }$
[/mm]
die begründung findest du oben im Artikel oder im Forum z.B. HIER
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Mi 20.12.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo,
beim ersten durchlesen ist es mir noch nicht klar geworden, aber in ein paar Stunden habe ich das.
Vielen Dank erst mal, ich muss die geballten Informationen erst mal verarbeiten.
Vielen Dank,
Sara
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Do 21.12.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo DaMenge
Hab die Aufgabe jetzt entgültig verstanden.
Vielen Dank, frohes Fest und guten Rutsch,
Sara
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