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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Gleichung
4 cos x = x
mindestens zwei verschiedene Lösungen [mm]x \in \IR[/mm] hat. |
Hallo ihr's,
also ich hatte mir bei der Aufgabe hier überlegt mit dem Zwischenwertsatz zu arbeiten, aber so richtig komme ich da auch nicht weiter. Könnt ihr mir vielleicht dabei helfen?
Vielen Dank im voraus
Elbi
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Hi, Elbi,
> Zeigen Sie, dass die Gleichung
>
> 4 cos x = x
>
> mindestens zwei verschiedene Lösungen [mm]x \in \IR[/mm] hat.
Betrachte doch die Funktion mit dem Funktionsterm f(x) = 4*cos(x)-x.
Dann läuft die Sache darauf hinaus, eine Aussage über die Anzahl der Nullstellen dieser Funktion zu treffen.
Nun würd' ich erst mal ableiten und die Extrempunkte suchen.
Und dabei wirst Du merken, dass es insbesondere zwischen [mm] -\pi [/mm] und [mm] +1,5*\pi [/mm] drei in diesem Zusammenhang interessante Extrempunkte gibt:
zwei Tiefpunkte mit negativer y-Koordinate und dazwischen einen Hochpunkt mit positiver y-Koordinate.
Aus der Stetigkeit von f folgt dann, dass es jeweils zwischen dem Hochpunkt und jedem der beiden Tiefpunkte mindestens eine Nullstelle geben muss, also insgesamt mindestens zwei.
mfG!
Zwerglein
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