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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen! :)
ich soll zeigen das
a) cosh(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{2k}}{(2k)!}
[/mm]
und
b) sinh(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
Bei der a) habe ich so angefangen
cosh(z) = [mm] \bruch{exp(z) + exp(-z)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k}}{(k)!} + \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{-z^{k}}{(k)!}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{ \summe_{k=0}^{\infty}( \bruch{z^{k}}{(k)!} + \bruch{-z^{k}}{(k)!})}{2}
[/mm]
ab das weiß ich nicht mehr weiter. Weil weiter zusammenfassen geht ja nicht, da ich bei zweiten Therm zwischen positiv und negativ hin und her schwanke.
die Aufgabe mit sinh, geht ja dann ähnlich. Aber mir fällt der nächste Schritt nicht ein.
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Du bist so gut wie fertig! Betrachte mal bei dem letzten Term die Fälle, in denen k gerade bzw. ungerade wird, getrennt. Dann solltest du sofort auf die gegebenen Terme kommen!
Gruß
TranVanLuu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Becks |
[mm] \bruch{ \summe_{k=0}^{\infty}( \bruch{z^{k}}{(k)!} + \bruch{-z^{k}}{(k)!})}{2}
[/mm]
Hmm, wenn ich sage, dass k gerade ist habe ich dann
[mm] \bruch{ \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2*z^{k}}{(k)!}}{2}
[/mm]
Was dann gekürzt [mm] \summe_{k=0}^{\infty}( \bruch{z^{k}}{(k)!}. [/mm] Aber damit komme ich doch nicht auf das Ergebnis. Oder habe ich was falsch gemacht?
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Hi, Becks,
verwechselst Du etwa [mm] -z^{k} [/mm] mit [mm] (-z)^{k}?
[/mm]
Du weißt ja:
Z.B. für k=2 und z = 3 ist [mm] -3^{2} [/mm] = -9 und [mm] (-3)^{2} [/mm] = +9.
Also: Vergiss die Klammer nicht, sonst kommt IMMER =0 raus!
In Wirklichkeit aber kommt nur 0 raus, wenn k ungerade ist!
Demnach bleiben nur die SUMMANDEN MIT GERADEM k übrig: k = 2n.
Weißt Du nun weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Becks |
aber dann kann ich es doch nicht mehr als Summe aufschreiben? oder beachte ich dir gar nicht und sage, die sind eh null.
Mir ist das noch nicht so klar, warum die 0 werden.
Kannst du das vielleicht nochmal erklären?
Wäre total klasse!
Danke Becks :)
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Hi, Becks,
naja: Nimm' halt mal irgendeinen Summanden mit ungerader Nummer, sagen wir den siebten:
[mm] \bruch{z^{7}}{7!} [/mm] + [mm] \bruch{(-z)^{7}}{7!}
[/mm]
= [mm] \bruch{z^{7}}{7!} [/mm] - [mm] \bruch{z^{7}}{7!} [/mm] = 0 (Na also!)
Aber nun nehmen wir z = 8 als Beispiel für einen Summanden mit gerader Nummer:
[mm] \bruch{z^{8}}{8!} [/mm] + [mm] \bruch{(-z)^{8}}{8!}
[/mm]
= [mm] \bruch{z^{8}}{8!} [/mm] + [mm] \bruch{z^{8}}{8!}
[/mm]
= [mm] 2*\bruch{z^{8}}{8!}
[/mm]
= [mm] \bruch{2*z^{8}}{8!}
[/mm]
Naja: Und nun eben musst Du die Zählnummer substituieren: k = 2n (denn nur für diese Zählnummern "bleibt was Zählbares" übrig).
Dann wird aus: [mm] \bruch{2*z^{k}}{k!}
[/mm]
natürlich:
[mm] \bruch{2*z^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
Und nun brauchst Du nur noch die gesamte Summe durch 2 zu kürzen (klar: vorher den 2er ausklammern!) und Du hast:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
(Dass die Laufvariable jetzt n statt k heißt, wird Dich ja wohl nicht stören! Ansonsten kannst Du sie ruhig "umtaufen" in k.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Becks |
hmm, ok danke :)
das mit dem k = 2n hatte ich nicht so verstanden. Ist mir aber jetzt auch klarer.
Für sinh ist das dann ähnlich oder?
Muss das gleich nochmal durchrechnen ;)
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Hi, Becks,
nur dass halt da genau umgekehrt die Summanden mit ungeradem Exponenten übrig bleiben: k = (2n+1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Becks |
vielen vielen dank für deine Hilfe ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Becks,
trink' halt ein Becks auf mein Wohl!
Ich trink' ein Erdinger Weizen auf Deins!
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