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cosh und sinh: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Mi 08.06.2005
Autor: Becks

Hallo zusammen! :)

ich soll zeigen das

a) cosh(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{2k}}{(2k)!} [/mm]
und
b) sinh(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm]

Bei der a) habe ich so angefangen

cosh(z) = [mm] \bruch{exp(z) + exp(-z)}{2} [/mm] =  [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^{k}}{(k)!} + \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{-z^{k}}{(k)!}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{ \summe_{k=0}^{\infty}( \bruch{z^{k}}{(k)!} + \bruch{-z^{k}}{(k)!})}{2} [/mm]

ab das weiß ich nicht mehr weiter. Weil weiter zusammenfassen geht ja nicht, da ich bei zweiten Therm zwischen positiv und negativ hin und her schwanke.
die Aufgabe mit sinh, geht ja dann ähnlich. Aber mir fällt der nächste Schritt nicht ein.

        
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cosh und sinh: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 08.06.2005
Autor: TranVanLuu

Du bist so gut wie fertig! Betrachte mal bei dem letzten Term die Fälle, in denen k gerade bzw. ungerade wird, getrennt. Dann solltest du sofort auf die gegebenen Terme kommen!

Gruß

TranVanLuu

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cosh und sinh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Mi 08.06.2005
Autor: Becks

[mm] \bruch{ \summe_{k=0}^{\infty}( \bruch{z^{k}}{(k)!} + \bruch{-z^{k}}{(k)!})}{2} [/mm]

Hmm, wenn ich sage, dass k gerade ist habe ich dann
[mm] \bruch{ \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2*z^{k}}{(k)!}}{2} [/mm]

Was dann gekürzt [mm] \summe_{k=0}^{\infty}( \bruch{z^{k}}{(k)!}. [/mm] Aber damit komme ich doch nicht auf das Ergebnis. Oder habe ich was falsch gemacht?

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cosh und sinh: weiterer Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Mi 08.06.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Becks,

verwechselst Du etwa [mm] -z^{k} [/mm] mit [mm] (-z)^{k}? [/mm]

Du weißt ja:
Z.B. für k=2 und z = 3 ist  [mm] -3^{2} [/mm] = -9  und [mm] (-3)^{2} [/mm] = +9.

Also: Vergiss die Klammer nicht, sonst kommt IMMER =0 raus!

In Wirklichkeit aber kommt nur 0 raus, wenn k ungerade ist!
Demnach bleiben nur die SUMMANDEN MIT GERADEM k übrig: k = 2n.

Weißt Du nun weiter?



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cosh und sinh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mi 08.06.2005
Autor: Becks

aber dann kann ich es doch nicht mehr als Summe aufschreiben? oder beachte ich dir gar nicht und sage, die sind eh null.
Mir ist das noch nicht so klar, warum die 0 werden.
Kannst du das vielleicht nochmal erklären?
Wäre total klasse!

Danke Becks :)

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cosh und sinh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Mi 08.06.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Becks,

naja: Nimm' halt mal irgendeinen Summanden mit ungerader Nummer, sagen wir den siebten:

[mm] \bruch{z^{7}}{7!} [/mm] + [mm] \bruch{(-z)^{7}}{7!} [/mm]

= [mm] \bruch{z^{7}}{7!} [/mm] - [mm] \bruch{z^{7}}{7!} [/mm] = 0 (Na also!)

Aber nun nehmen wir z = 8 als Beispiel für einen Summanden mit gerader Nummer:

[mm] \bruch{z^{8}}{8!} [/mm] + [mm] \bruch{(-z)^{8}}{8!} [/mm]

=  [mm] \bruch{z^{8}}{8!} [/mm] + [mm] \bruch{z^{8}}{8!} [/mm]

= [mm] 2*\bruch{z^{8}}{8!} [/mm]

=  [mm] \bruch{2*z^{8}}{8!} [/mm]

Naja: Und nun eben musst Du die Zählnummer substituieren: k = 2n (denn nur für diese Zählnummern "bleibt was Zählbares" übrig).

Dann wird aus: [mm] \bruch{2*z^{k}}{k!} [/mm]
natürlich:

[mm] \bruch{2*z^{2n}}{(2n)!} [/mm]

Und nun brauchst Du nur noch die gesamte Summe durch 2 zu kürzen (klar: vorher den 2er ausklammern!) und Du hast:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n)!} [/mm]

(Dass die Laufvariable jetzt n statt k heißt, wird Dich ja wohl nicht stören! Ansonsten kannst Du sie ruhig "umtaufen" in k.)



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cosh und sinh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Mi 08.06.2005
Autor: Becks

hmm, ok danke :)
das mit dem k = 2n hatte ich nicht so verstanden. Ist mir aber jetzt auch klarer.
Für sinh ist das dann ähnlich oder?
Muss das gleich nochmal durchrechnen ;)

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cosh und sinh: Jo!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Mi 08.06.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Becks,

nur dass halt da genau umgekehrt die Summanden mit ungeradem Exponenten übrig bleiben: k = (2n+1)



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cosh und sinh: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Mi 08.06.2005
Autor: Becks

vielen vielen dank für deine Hilfe ;)

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cosh und sinh: Alles klar!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Mi 08.06.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Becks,

trink' halt ein Becks auf mein Wohl!
Ich trink' ein Erdinger Weizen auf Deins!


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