cos (2x - pi/3) = 0, Bestimmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Julia_1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
[mm] $\cos\left(2x - \bruch{\pi}{3}\right) [/mm] = 0$ im Intervall [mm] $0\le x\le 2\pi$. [/mm] |
Hallo.
Habe die o. g. Aufgabe im Internet gefunden. Stammt aus einem Mathematik-Brückenkurs einer FH.
Die Lösungen [mm] \bruch{5\Pi}{12}, \bruch{11\Pi}{12}, \bruch{17\Pi}{12}, \bruch{23\Pi}{12}, [/mm] standen auch mit dabei.
Ich habe aber keine Ahnung, wie ich zu den Lösungen kommen soll.
Kann jemand weiterhelfen?
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Hallo [mm]\texttt{Julia\_1}[/mm],
> Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
> [mm]\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0[/mm] im Intervall [mm]0\le x\le 2\pi[/mm]
Wir wenden hierauf die Umkehrfunktion an:
[mm]\arccos\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 2x - \frac{\pi}{3} = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}+k\pi[/mm] mit [mm]k \in \mathbb{N}_0[/mm]
Denn [mm]\arccos(0)[/mm] ist ja ein solcher Winkel für den der Kosinus 0 wird. Und wenn man sich den Einheitskreis ansieht, so sieht man, daß dafür nur 2 Winkel in Frage kommen: 90° und 270°. Nach jeweils weiteren 180° kommen wir wieder auf diese Winkel. Löse nun die obige Gleichung nach [mm]x[/mm] auf und bestimme für [mm]k = 0,\dotsc,3[/mm] deine speziellen Lösungen.
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Julia_1 |
Sorry, aber ich habe nichts verstanden.
1. Wo kommt das k her, das in deiner letzten Gleichung steht?
2. Wie soll ich denn nach x auflösen? In deiner letzten Gleichung ist gar kein x mehr vorhanden. >>confused<<
Entschuldigung nochmals für die dummen Fragen. Aber mein Matheunterricht ist 7 Jahre her.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Dieses "komische $k_$" wird gebraucht, da die [mm] $\cos()$-Funktion [/mm] periodisch ist und daher unendlich viele Nullstellen hat.
Dabei sind diese Nullstellen immer in denselben Abständen. Ausformuliert würden diese lauten:
$...; \ [mm] -\bruch{5}{2}\pi; [/mm] \ [mm] -\bruch{3}{2}\pi; [/mm] \ [mm] -\bruch{1}{2}\pi; [/mm] \ [mm] +\bruch{1}{2}\pi; [/mm] \ [mm] +\bruch{3}{2}\pi; [/mm] \ [mm] +\bruch{5}{2}\pi; [/mm] \ ...$
Dies lässt sich nun mit der o.g. Darstellung von Karl abkürzen zu:
[mm] $\frac{\pi}{2}+k*\pi$ [/mm] mit [mm]k \in \mathbb{Z}[/mm]
Dabei können wir nun für $k_$ jede beliebige ganze Zahl einsetzen.
Da Du aber lediglich das Intervall $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \left[ \ 0; 2\pi \ \right]$ [/mm] betrachten brauchst, sind für Dich lediglich einige Lösungen interessant.
Dafür musst du nun Karl's Gleichung oben nach $x_$ umstellen. Betrachte dabei lediglich die roten Terme:
[mm]\arccos\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \red{2x - \frac{\pi}{3}} = \arccos(0) = \red{\frac{\pi}{2}+k*\pi}[/mm]
[mm]2x - \frac{\pi}{3} \ = \ \frac{\pi}{2}+k*\pi[/mm]
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Julia_1 |
Danke Loddar,
Deine Erläuterungen, speziell die die das komische k  betreffen, haben mir gefehlt, um Licht ins Dunkle zu bringen.
Wenn ich dann nach x aufgelöst habe, welche Werte genau muss ich dann für das k einsetzen, um auf die 4 genannten Ergebnisse zu kommen?
Du hast ja geschrieben, dass ich für k jede beliebige ganze Zahl einsetzen kann. Bei mir ja nur die ganzen Zahlen im Intervall von 0 - [mm] 2\Pi.
[/mm]
Dazwischen liegen doch 1,2,3,4,5,6 - oder?
Das sind doch aber 6 ganze Zahlen. Aber es gibt doch nur 4 Lösungen!?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Nicht die $k_$-Werte sollen zwischen $0_$ und [mm] $2\pi$ [/mm] liegen, sondern die gesuchten [mm] $\red{x}$-Werte.
[/mm]
Nach dem Umstellen solltest Du erhalten haben:
[mm] $x_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{12}*\left(5+6*k\right)$
[/mm]
Setzen wir z.B. mal $k \ = ß 0$ ein, erhalten wir:
[mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{12}*\left(5+6*0\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{12}\pi [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.309$
Das ist im genannten Intervall, also eine Lösung. Setze nun mal weitere $k_$-Werte ein, bis Du aus dem Intervall rutschst. Das sollten dann insgesamt vier Lösungen sein.
Gruß
Loddar
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