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| Aufgabe | | Zeigen Sie: die Cobb-Douglas-Funktion [mm] f(x,y)=x^{\alpha}*y^{\beta} [/mm] ist strikt konkav für [mm] \alpha+\beta [/mm] < 1. |
Ich habe jetzt hierzu die Hessematrix gebildet,die sieht folgendermaßen aus:
H= [mm] \pmat{ \alpha^{2}-\alpha x^{\alpha-2}& \alpha \beta x^{\alpha-1}y^{\beta-1} \\ \alpha \beta x^{\alpha-1}y^{\beta-1} & \beta ^{2}- \beta x^{2}y^{\beta-2} }
[/mm]
nun jetzt kann ich noch dazu sagen,dass [mm] f_{xx}<0 [/mm] sein muss und das detH>0 sein muss.aber wie zeige ich das?
das war mein Ansatz und ich würde mich freuen,wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
vielen dank im voraus.
mfg
danyal
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Hallo danyal,
> Zeigen Sie: die Cobb-Douglas-Funktion
> [mm]f(x,y)=x^{\alpha}*y^{\beta}[/mm] ist strikt konkav für
> [mm]\alpha+\beta[/mm] < 1.
> Ich habe jetzt hierzu die Hessematrix gebildet,die sieht
> folgendermaßen aus:
>
> H= [mm]\pmat{ \alpha^{2}-\alpha x^{\alpha-2}& \alpha \beta x^{\alpha-1}y^{\beta-1} \\
\alpha \beta x^{\alpha-1}y^{\beta-1} & \beta ^{2}- \beta x^{2}y^{\beta-2} }[/mm]
Deine Ableitungen [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] stimmen nicht.
> nun jetzt kann ich noch dazu sagen,dass [mm]f_{xx}<0[/mm] sein muss
> und das detH>0 sein muss.aber wie zeige ich das?
Wenn die Behauptung stimmt, ist die Hessematrix auf ganz D negativ definit. Was heißt das nochmal genau? - Vor allem: wie sieht eigentlich D aus?
> das war mein Ansatz und ich würde mich freuen,wenn ihr mir
> weiterhelfen könntet.
Grüße
reverend
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Hallo und vielen dank für die bisherige Hilfe.
Ergänzung zur Aufgabenstellung:
1.) [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] > 0
2.) x und y >0
es gilt aber weiterhin: [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] <1
so,da meine [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] falsch sind,werde ich meine Ableitungen nochmal ausführlich hier durchführen:
[mm] f_{x}= \alpha x^{\alpha - 1} [/mm] * [mm] y^{\beta }
[/mm]
[mm] f_{xx}=\alpha [/mm] ( [mm] \alpha [/mm] - 1) [mm] x^{(\alpha - 1)-1}*y^{\beta}
[/mm]
= [mm] (\alpha^{2}- \alpha) x^{\alpha -2}* y^{\beta}
[/mm]
[mm] f_{y}=\beta x^{\alpha}*y^{\beta -1}
[/mm]
[mm] f_{yy}=\beta (\beta [/mm] -1) [mm] x^{\alpha} y^{(\beta -1)-1}
[/mm]
[mm] =(\beta^{2} -\beta) [/mm] * [mm] x^{\alpha} y^{\beta -2}
[/mm]
Nun was gelten muss ist folgendes:
[mm] f_{xx}<0 [/mm] sein und detH>0 sein.
soweit ich sehen kann ,kann meine [mm] f_{xx}<0 [/mm] nicht sein, aufgrund dieser Bedingungen x und y>0. Heißt es dass meine Ableitungen immer noch falsch sind?wenn ja, wo mache ich diesen Fehler?
det H wird folgendermaßen gerechnet: [mm] f_{xx}*f_{yy}-(f_{xy})^{2}=detH.
[/mm]
wie komme ich jetzt weiter?sind meine Ableitungen nun korrekt?
würd mich über jede Hilfe freuen.
vielen dank im voraus.
mfg
danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $f_xx= [mm] (\alpha^{2}- \alpha) x^{\alpha -2}\cdot{} y^{\beta} [/mm] $
das stimmt jetzt.
> $ [mm] f_yy=(\beta^{2} -\beta) x^{\alpha} y^{\beta -2} [/mm] $
das auch.
> soweit ich sehen kann ,kann meine $ [mm] f_{xx}<0 [/mm] $ nicht sein, aufgrund dieser Bedingungen x und y>0.
wieso?
Wann ist denn das Produkt
$ [mm] (\alpha^{2}- \alpha)*x^{\alpha -2}\cdot{} y^{\beta} [/mm] $
kleiner 0?
ciao
Stefan
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Hallo und vielen dank für die Hilfe.
> Hi,
>
>
> > [mm]f_xx= (\alpha^{2}- \alpha) x^{\alpha -2}\cdot{} y^{\beta}[/mm]
>
> das stimmt jetzt.
>
> > [mm]f_yy=(\beta^{2} -\beta) x^{\alpha} y^{\beta -2}[/mm]
>
> das auch.
>
>
> > soweit ich sehen kann ,kann meine [mm]f_{xx}<0[/mm] nicht sein,
> aufgrund dieser Bedingungen x und y>0.
>
> wieso?
>
> Wann ist denn das Produkt
>
> [mm](\alpha^{2}- \alpha)*x^{\alpha -2}\cdot{} y^{\beta}[/mm]
>
> kleiner 0?
das Produkt ist kleiner 0,wenn das im klammer kleiner 0 ist,und das was in der klammer steht muss kleiner 0 ergeben ,da [mm] (\alpha^{2}- \alpha) [/mm] <0,genau so ist das auch bei [mm] f_{yy} [/mm] der fall. dann wäre das Produkt von [mm] f_{xx}*f_{yy}ja [/mm] >0. dann müsste [mm] b^{2} [/mm] in diesem falle [mm] (f_{xy})^{2} [/mm] ja kleiner (zwischen 0,00001 und dem Produkt von [mm] f_{xx}*f_{yy} [/mm] ) als das Produkt von
[mm] f_{xx}*f_{yy} [/mm] sein,damit wir eine postivie Determinante haben und somit auch den beweis. denn sonst wenn [mm] b^{2} [/mm] größer als das Produkt von [mm] f_{xx}*f_{yy} [/mm] wäre,wäre die Determinante negativ und der beweis wäre nicht da.
ist das soweit richtig (verständlich) was ich hier denke? Ist das dann somit der beweis?
würd mich über jede Hilfe freuen.
mfg
danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> das was in der klammer steht muss kleiner 0 ergeben ,da $ [mm] (\alpha^{2}- \alpha) [/mm] $ <0
wieso?
> [snip]
Wieso schreibst Du nicht einfach mal [mm] $f_{xx}*f_{yy} [/mm] - [mm] (f_{xy^})^2$ [/mm] auf, und dann schauen wir, ob's >0 ist?
> (zwischen 0,00001 und dem Produkt von $ [mm] f_{xx}\cdot{}f_{yy} [/mm] $ )
wieso gerade 0,00001?
ciao
Stefan
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> Hi,
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> > das was in der klammer steht muss kleiner 0 ergeben ,da
> [mm](\alpha^{2}- \alpha)[/mm] <0
>
> wieso?
da [mm] \alpha [/mm] eine zahl zwischen 0,0000000000.....1 also größer als 0 sein muss und gleichzeitig die summe von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] <1 sein muss. und da eine zahl in diesem Bereich zum Quadrat ist immer kleiner als ohne uqdriert.
Bsp: [mm] 0,2^{2}-0,2=-0,16 [/mm]
usw. weiter für andere zahlen in diesem Bereich.
>
>
> > [snip]
>
> Wieso schreibst Du nicht einfach mal [mm]f_{xx}*f_{yy} - (f_{xy^})^2[/mm]
> auf, und dann schauen wir, ob's >0 ist?
ok,da ich jetzt annehme dass [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] negativ (aus dem obigen Grund) sind,muss das Produkt aus den beiden ja positiv sein. nun von diesem Produkt müssen wir jetzt [mm] (f_{xy^})^2 [/mm] abziehen und das Ergebnis muss >0 sein,damits strikt konkav ist.
Bsp: sagen wir das Produkt aus [mm] f_{xx}*f_{yy}=0.06 [/mm] dann darf [mm] (f_{xy^})^2 [/mm] nicht größer sein als 0.06 und auch nicht 0.06,denn sonst hätten wir eine negative zahl oder =0.
>
>
> > (zwischen 0,00001 und dem Produkt von [mm]f_{xx}\cdot{}f_{yy}[/mm]
> )
>
> wieso gerade 0,00001?
naja ich meinte nicht exakt die obige zahl,was ich meinte war ist dass aus der Subtraktion nicht =0 rauskommen darf denn sonst wäre es ja nicht strikt konkav.
was ich damit versucht habe zu sagen ist,ist das das Ergebnis >0 sein muss.
(auch wenn das korrekt ist was ich hier geschrieben habe,denke ich nicht dass ein mathematischer beweis formal so "korrekt" aussieht.)
würd mich über jede Hilfe freuen.
vielen dank im voraus.
mfg
danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> da $ [mm] \alpha [/mm] $ eine zahl zwischen 0,0000000000.....1
das ist eine wirklich häßliche Schreibweise, die Du Dir abgewöhnen solltest.
> also größer als 0
das funktioniert viel besser. =)
[mm] $0<\alpha<1$, [/mm] weil $a>0$, [mm] $\beta>0$ [/mm] und [mm] $\alpha+\beta [/mm] <1$.
> ok,da ich jetzt annehme dass $ [mm] f_{xx} [/mm] $ und $ [mm] f_{yy} [/mm] $ negativ (aus dem obigen Grund) sind,muss das Produkt aus den beiden ja positiv sein. nun von diesem Produkt müssen wir jetzt $ [mm] (f_{xy^})^2 [/mm] $ abziehen und das Ergebnis muss >0 sein,damits strikt konkav ist.
Und wieso schauen wir nicht, ob das tatsächlich der Fall ist? Du kennst doch alle 3. Die hast Du ja bereits ausgerechnet.
ciao
Stefan
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> Hi,
>
> > da [mm]\alpha[/mm] eine zahl zwischen 0,0000000000.....1
>
> das ist eine wirklich häßliche Schreibweise, die Du Dir
> abgewöhnen solltest.
>
>
> > also größer als 0
>
> das funktioniert viel besser. =)
>
> [mm]0<\alpha<1[/mm], weil [mm]a>0[/mm], [mm]\beta>0[/mm] und [mm]\alpha+\beta <1[/mm].
>
>
> > ok,da ich jetzt annehme dass [mm]f_{xx}[/mm] und [mm]f_{yy}[/mm] negativ (aus
> dem obigen Grund) sind,muss das Produkt aus den beiden ja
> positiv sein. nun von diesem Produkt müssen wir jetzt
> [mm](f_{xy^})^2[/mm] abziehen und das Ergebnis muss >0 sein,damits
> strikt konkav ist.
>
> Und wieso schauen wir nicht, ob das tatsächlich der Fall
> ist? Du kennst doch alle 3. Die hast Du ja bereits
> ausgerechnet.
>
[mm] 0<\alpha<1 [/mm] und [mm] 0<\beta<1 [/mm] weil [mm] \alpha>0, [/mm] und [mm] \beta>0 [/mm] und [mm] \alpha+\beta<1
[/mm]
nun gilt daher auch:
[mm] \alpha^{2} <\alpha [/mm] gilt [mm] \alpha^{2}-\alpha [/mm] <0 [mm] \Rightarrow -f_{xx}
[/mm]
[mm] \beta^{2} <\beta [/mm] gilt [mm] \beta^{2} [/mm] - [mm] \beta [/mm] <0 [mm] \Rightarrow -f_{yy}
[/mm]
somit ist das produkt aus [mm] -f_{xx}*-f_{yy}=positiv=c
[/mm]
nun muss weiterhin gelten: [mm] c-(f_{xy})^{2}>0,damit [/mm] strikt konkav ist.
deswegen muss auch gelten [mm] (f_{xy})^{2}
[mm] f_{xy}=\alpha \beta x^{\alpha-1} y^{\beta-1}
[/mm]
[mm] 0
daher muss das [mm] (f_{xy})^{2}
ist der beweis nun in ordnung? habe ich was vergessen?
würd mich über jede hilfe freuen.
vielen dank im voraus.
mfg danyal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Do 13.10.2011 | | Autor: | Blech |
> ist der beweis nun in ordnung?
Nein, weil Du überhaupt nix beweist.
> daher muss das $ [mm] (f_{xy})^{2}
wenn das gilt, dann ist f strikt konkav. Aber Du zeigst doch nirgends, daß diese Ungleichung tatsächlich gilt.
Du kannst doch nicht "f ist strikt konkav" verwenden, um zu beweisen, daß f strikt konkav ist... (wäre übrigens nichtmal dann korrekt. Das Kriterium mit der Hessematrix ist hinreichend aber nicht notwendig. Aber das nur am Rande =)
ciao
Stefan
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