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Hallo!
Komme bei meiner Aufgabe nicht weiter, vielleicht könnt ihr mir ja helfen?!
Sei K ein Körper und seien [mm] A,B\in M(n\times [/mm] n,K). Man zeige:
Ist eine der beiden Matrizen A,B invertierbar, so ist [mm] p_{AB}=p_{BA} [/mm] (d.h. AB und BA haben dasselbe charakteristische Polynom).
So habe ich angefangen:
Sei o.B.d.A. B invertierbar. Dann gilt: B [mm] invertierbar\gdw det(B)\not=0 \gdw [/mm] Kern(B)=0
Aber nun weiß ich nicht, wie ich meine Matrix A einbauen soll!
Oder ist mein Weg falsch und ich sollte es lieber über: "Ist B invertierbar, dann ex. ein [mm] B'\in M(n\times [/mm] n,K) mit [mm] B*B'=B'*B=E_{n} [/mm] " probieren? Aber wie komme ich dann zum char. Polynom?
Wäre echt nett, wenn ihr mir helfen könntet!
Gruß Jessi
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> Sei K ein Körper und seien [mm]A,B\in M(n\times[/mm] n,K). Man
> zeige:
>
> Ist eine der beiden Matrizen A,B invertierbar, so ist
> [mm]p_{AB}=p_{BA}[/mm] (d.h. AB und BA haben dasselbe
> charakteristische Polynom).
Tipp: Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom.
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Hallo!
Also muss ich nur noch zeigen, dass es ein [mm] T\in [/mm] GL(n,K) gibt mit [mm] A=T^{-1}*B*T [/mm] ?
Aber B soll doch invertierbar sein und A nicht! Können die beiden dann trotzdem ähnlich sein?
Danke und schönen Abend noch...
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Moin Staatsi ;)
Gehe ich recht in der Annahme, dass man die Ähnlichkeit von AB und BA betrachten muss, wobei das invertierbare T oBdA einfach gleich A gewählt werden kann??? Denk ich mir zumindest so. Schönen Abend dir mit den Aufgaben :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 So 01.05.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Ach ne, hast dir also die Aufgaben auch schon angeguckt! Wow!
Und du meinst wirklich, dass das so funktioniert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 So 01.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Warum nicht? A ist invertierbar, das wird schon gehen. Aber mit den anderen Aufgaben komme ich ehrlich gesagt nicht wirklich zurande...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 So 01.05.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Naja, wir sehen uns ja morgen (solange ich es zur Uni schaffe! Hab mega Muskelkater vom Tennispunktspiel gestern!) und dann schauen wir weiter. Ich hab schon ein bißchen was gemacht! Und wenn wir gar nicht weiterkommen, gehen wir zu Timo's Sprechstunde!
Schönen Abend noch... Bussi Jessi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 So 01.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Arme Sportlerseele... Mach dir nichts drauß, wird schon wieder verschwinden. Mache hier auf jeden Fall jetzt schluss, dir auch noch nen netten Abend... bis morgen, San
PS: Timo wird nötig sein, denk ich mal
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> Also muss ich nur noch zeigen, dass es ein [mm]T\in[/mm] GL(n,K)
> gibt mit [mm]A=T^{-1}*B*T[/mm] ?
> Aber B soll doch invertierbar sein und A nicht! Können die
> beiden dann trotzdem ähnlich sein?
Falls [mm]T[/mm] invertierbar ist, gilt
[mm]AB = T^{-1}BA T \gdw TAB = BAT.[/mm]
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