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| Aufgabe | Zu folgender quadratischen Matrix B soll das charakteristische Polynom berechnet werden:
Dazu seien [mm] a_{0},...,a_{n-1}\in [/mm] K.
[mm] B=B(a_{0},...,a_{n-1})=\begin{pmatrix}0 & \cdots & 0 & -a_{0}\\
1 & & & -a_{1}\\
& \ddots & & \vdots\\
0 & \cdots & 1 & -a_{n-1}\end{pmatrix} [/mm] (Also in der letzten Zeile den Koeffizienten [mm] -a_{i} [/mm] und mit n-1 Einsen direkt unter der Hauptdiagonalen und sonst nur nullen) |
Hallo,
ich habe nun erstmal das charakteristische Polynom (also [mm] det(TE_{n}-B) [/mm] für n=3 entwickelt, da dies ja leicht möglich ist. Da kommt bei mir heraus [mm] T^{3}-a_{2}T^{2}-a_{1}T-a_{0}. [/mm] Vermutlich soll am Ende also so etwas wie [mm] T^{n}-a_{n-1}T^{n-1}-...-a_{0} [/mm] herauskommen.
Mein Problem ist nun, die Determinante für den allgemeinen Fall auszurechnen. Als Beispiel betrachte ich mal den Fall n=4:Dann muss die Determinante von [mm] D=\begin{pmatrix}T & 0 & 0 & -a_{0}\\
-1 & T & 0 & -a_{1}\\
0 & -1 & T & -a_{2}\\
0 & 0 & -1 & T-a_{3}\end{pmatrix} [/mm] berechnet werden. Wie muss ich da D entsprechend umformen, so dass mir das nach Laplace gelingt? Da komme ich auf keine vernünftige Methode.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wie muss ich da D entsprechend umformen,
> so dass mir das nach Laplace gelingt? Da komme ich auf
> keine vernünftige Methode.
Du entwickelst nach der ertsen Zeile - welche zwei Determinanten gibt es denn da? Dann solltest du per Induktion den allgemeinen Fall erhalten.
SEcki
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> Du entwickelst nach der ertsen Zeile - welche zwei
> Determinanten gibt es denn da? Dann solltest du per
> Induktion den allgemeinen Fall erhalten.
>
> SEcki
ich habe in der ersten Zeile doch aber zwei Einträge. Dann muss ich doch erst einen davon irgendwie zu null hinbekommen, damit ich nach der ersten zeile entwickeln kann oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 02.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein musst du nicht, sondern eben 2 Unterdet. bestimmen.
Gruss leduart
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ok klar.
Wie ich das genau für den allg. Fall berechne bzw zeige, ist mir aber immer noch nicht so ganz klar.
Wenn ichs mit Induktion mache müsste ich ja irgendwie dann im Induktionsschritt zeigen, dass [mm] \mbox{det}(TE_{n+1}B(a_{0},...,a_{n}))=T^{n+1}-a_{n}T^{n}-...-a_{0}. [/mm]
Wie mache ich das aber, bzw. was kommt in der Gleichungskette nach [mm] \mbox{det}(TE_{n+1}B(a_{0},...,a_{n}))=?.
[/mm]
Da müsste ich dann doch irgendwie die Induktionsvoraussetzung benutzen können.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, Deine Vorgehensweise lautet:
1. Schritt: Vermutung aufstellen
Zunächst stelle Dir eine Vermutung auf, was die Determinante dieser [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix ist. (Induktionsvoraussetzung)
2.Schritt: Induktion
Dein Induktionsanfang ist dann $n=1$, d.h. bestimme die Determinante für eine [mm] $1\times [/mm] 1$-Matrix.
Für Deinen Induktionsschluss betrachtest Du die [mm] $n+1\times [/mm] n+1$-Matrix. Diese musst Du (wie mein Vorredner gasagt hat) entwickeln und erhälst zwei Unterdeterminanten. Auf eine davon wendest Du die Induktionsvoraussetzung an. Die andere dürfte sich leicht berechnen lassen (insofern ich mich nicht irre).
Falls Du nicht weiterkommen solltest, gib Bescheid, bei welchem Schritt Du feststeckst.
> Wie mache ich das aber, bzw. was kommt in der Gleichungskette nach $ [mm] \mbox{det}(TE_{n+1}B(a_{0},...,a_{n}))=?. [/mm] $
> Da müsste ich dann doch irgendwie die Induktionsvoraussetzung benutzen können.
Das ist Schritt 1.
Gruß
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Naja das Prinzip Induktion ist mir schon klar.
Ich stecke nur beim Induktionsschluss fest.
Betrachte ich mal die [mm] n+1\times [/mm] n+1 Matrizen und berechne mal die Determinante. Das sieht so aus:
[mm] \begin{pmatrix}T & 0 & ...0 & -a_{0}\\
-1 & \ddots & & \vdots\\
& \ddots\\
0 & & -1 & T-a_{n}\end{pmatrix}=T\cdot\begin{pmatrix}T & 0 & ... & -a_{1}\\
-1 & \ddots\\
& \ddots\\
0 & & -1 & T-a_{n}\end{pmatrix}\pm(-a_{0})\cdot\begin{pmatrix}-1 & T & & 0\\
& \ddots & \ddots\\
& & & T\\
0 & & & -1\end{pmatrix}
[/mm]
Der letzte Teil ergibt immer [mm] -a_{0}.
[/mm]
Probleme habe ich jetzt die Induktionsvoraussetzungen auf die erste Unterdeterminante anzuwenden, denn das ist doch nicht [mm] T^{n}-a_{n-1}T^{n-1}-... [/mm] sondern
[mm] T^{n}-a_{n}T^{n-1}-... [/mm] .
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Sa 02.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Probleme habe ich jetzt die Induktionsvoraussetzungen auf
> die erste Unterdeterminante anzuwenden, denn das ist doch
> nicht [mm]T^{n}-a_{n-1}T^{n-1}-...[/mm] sondern
>
> [mm]T^{n}-a_{n}T^{n-1}-...[/mm] .
Naja, Umnumerierung / Umindexierung ist das bloß. Wenn da anstatt [m]a_n[/m] auf einmal [m]b_n[/m] stehen würden - wäre das auch ein Problem? Wenn nicht, setze [m]b_{n-1}=a_n[/m].
SEcki
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Gut dankeschön bis dahin. Ich habs mir jetzt zusammengebastelt.
Jetzt gibt es noch einen weiteren Aufgabenteil.
Man sol zeigen: Die Abbildung [mm] \phi=l_{B}:K^{n}\rightarrow K^{n} [/mm] hat folgende Eigenschaft: [mm] \exists [/mm] Vektor [mm] v\in K^{n}\mbox{, so dass die Vektoren }v,\phi(v),...,\phi^{n-1}(v) [/mm] linear unabhängig sind, und so dass gilt: [mm] \phi^{n}(v)=-\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum}}a_{i}\phi^{i}(v). [/mm]
Ich hab im erstem Teil der Aufgabe als charakteristisches Polynom ein normiertes Polynom erhalten. Also denke ich mal, dass ich damit argumentieren muss. Mir fällt jedoch kein vernünftiger Argumentationsanfang ein, der mich an gefordertes Ziel führt.
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> Gut dankeschön bis dahin. Ich habs mir jetzt
> zusammengebastelt.
>
> Jetzt gibt es noch einen weiteren Aufgabenteil.
> Man sol zeigen: Die Abbildung [mm]\phi=l_{B}:K^{n}\rightarrow K^{n}[/mm]
Hallo,
was soll denn [mm] l_B [/mm] sein? Die durch B dargestellte lineare Abbildung?
Wenn ja: B ist Darstellungsmatrix bzgl irgendeiner Basis [mm] (b_1,...,b_n).
[/mm]
Schreib erstmal auf, was die Matrix erzählt, [mm] \phi(b_i) [/mm] ist.
Definiere dann [mm] v:=b_1...
[/mm]
Gruß v. Angela
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Für [mm] l_{B} [/mm] gilt:
[mm] l_{B}(v)=\phi(v)=Bv.
[/mm]
Wenn ich also [mm] \phi(b_{i}) [/mm] berechne passiert folgendes:
[mm] \phi(b_{i})=Bb_{i}=\begin{pmatrix}-a_{0}b_{n}\\
b_{1}-a_{1}b_{n}\\
\vdots\\
b_{n-1}-a_{n-1}b_{n}\end{pmatrix}.
[/mm]
Da bringt mich aber irgendwie im Moment so garnicht weiter. Ich weiß damit immer noch nicht, wie ich v definieren muss.
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> Für [mm]l_{B}[/mm] gilt:
>
> [mm]l_{B}(v)=\phi(v)=Bv.[/mm]
>
> Wenn ich also [mm]\phi(b_{i})[/mm] berechne passiert folgendes:
>
> [mm]\phi(b_{i})=Bb_{i}=\begin{pmatrix}-a_{0}b_{n}\\
b_{1}-a_{1}b_{n}\\
\vdots\\
b_{n-1}-a_{n-1}b_{n}\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Da bringt mich aber irgendwie im Moment so garnicht weiter.
> Ich weiß damit immer noch nicht, wie ich v definieren muss.
Hallo,
weißt Du denn, was Deine [mm] b_i [/mm] sind?
Mir ist nicht klar, was Du gerade rechnest.
Den Zusammenhang zwischen Basis und darstellender Matrix kennst Du?
Gruß v. Angela
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> Den Zusammenhang zwischen Basis und darstellender Matrix
> kennst Du?
>
> Gruß v. Angela
>
Naja die darstellende Matrix ist abhängig von der Basis.
Ich weiß mittlerweile aber garnicht mehr was ich machen muss.
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> > Den Zusammenhang zwischen Basis und darstellender Matrix
> > kennst Du?
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Naja die darstellende Matrix ist abhängig von der Basis.
> Ich weiß mittlerweile aber garnicht mehr was ich machen
> muss.
Hallo,
nun nimm doch mal die Basis [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] bzgl derer B die Abbildungsmatrix ist.
Was ist denn [mm] \phi(b_1), \phi(b_2),..., \Phi(b_{n-1}, \phi(b_n)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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> nun nimm doch mal die Basis [mm](b_1,...,b_n)[/mm] bzgl derer B die
> Abbildungsmatrix ist.
>
> Was ist denn [mm]\\phi(b_1), \phi(b_2),..., \Phi(b_{n-1}, \phi(b_n)?[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
Sorry für die viele Fragerei, aber wie soll ich das machen? Ist nicht [mm] b_1=(0,1,0,...,0) [/mm] also die erste Spalte der Matrix.
Wie du sicherlich merkst, komme ich deinen Gedanken gerade garnicht hinterher.
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Hallo,
wir sammeln jetzt nochmal, vielleicht taufe ich auch einiges um.
Es geht um die lineare Abbildung
[mm] \phi:K^n\to K^n
[/mm]
[mm] \phi(v):=Bv
[/mm]
mit
[mm] B:=\begin{pmatrix}0 & \cdots & 0 & -a_{0}\\ 1 & & & -a_{1}\\ & \ddots & & \vdots\\ 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1}\end{pmatrix} [/mm] $ .
Zu zeigen:
es gibt einen Vektor $ [mm] v\in K^{n}\mbox{, so dass die Vektoren }v,\phi(v),...,\phi^{n-1}(v) [/mm] $ linear unabhängig sind,
und so dass gilt: $ [mm] \phi^{n}(v)=-\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum}}a_{i}\phi^{i}(v). [/mm] $
Wir sind uns einige, daß der [mm] K^n [/mm] eine Basis hat. Sei [mm] (e_1,...,e_n) [/mm] die Standardbasis des [mm] K^n.
[/mm]
Es ist nun
[mm] \phi(e_i)=e_{i+1} [/mm] für i=1,...,n-1 und [mm] \phi(e_n)=-\summe_0^{n-1}a_ie_{i+1}.
[/mm]
Überzeuge Dich davon.
Und nun schau mal nach, ob möglicherweise der Vektor [mm] e_1 [/mm] alles tut, was er tun soll.
Gruß v. Angela
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> Zu zeigen:
>
> es gibt einen Vektor [mm]v\in K^{n}\mbox{, so dass die Vektoren }v,\phi(v),...,\phi^{n-1}(v)[/mm]
> linear unabhängig sind,
> und so dass gilt:
> [mm]\phi^{n}(v)=-\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum}}a_{i}\phi^{i}(v).[/mm]
>
>
> Wir sind uns einige, daß der [mm]K^n[/mm] eine Basis hat. Sei
> [mm](e_1,...,e_n)[/mm] die Standardbasis des [mm]K^n.[/mm]
klar.
>
>
> Es ist nun
>
> [mm]\phi(e_i)=e_{i+1}[/mm] für i=1,...,n-1 und
> [mm]\phi(e_n)=-\summe_0^{n-1}a_ie_{i+1}.[/mm]
>
> Überzeuge Dich davon.
auch klar.
>
> Und nun schau mal nach, ob möglicherweise der Vektor [mm]e_1[/mm]
> alles tut, was er tun soll.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Ich bin damit trotzdem noch nicht so ganz einverstanden. Es geht doch darum [mm] \phi^n(v) [/mm] in dieser Summenschreibweise auszudrücken. Da ist doch dann dieser Exponent n. Damit ist das doch nicht gleich dem: [mm]\phi(e_n)=-\summe_0^{n-1}a_ie_{i+1}.[/mm].
Wenn ich [mm] \phi(v) [/mm] berechne kommt [mm] e_2 [/mm] raus für [mm] v=e_1. [/mm] Wenn ich dann aber [mm] \phi^2(v) [/mm] berechne, was soll dann da rauskommen?
Hoffe mal, ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt.
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> > Es ist nun
> >
> > [mm]\phi(e_i)=e_{i+1}[/mm] für i=1,...,n-1 und
> > [mm]\phi(e_n)=-\summe_0^{n-1}a_ie_{i+1}.[/mm]
> >
> > Überzeuge Dich davon.
>
> auch klar.
Hallo,
gut.
>
> >
> > Und nun schau mal nach, ob möglicherweise der Vektor [mm]e_1[/mm]
> > alles tut, was er tun soll.
Und? Tut er's?
>
> Ich bin damit trotzdem noch nicht so ganz einverstanden. Es
> geht doch darum [mm]\phi^n(v)[/mm] in dieser Summenschreibweise
> auszudrücken. Da ist doch dann dieser Exponent n. Damit ist
> das doch nicht gleich dem:
> [mm]\phi(e_n)=-\summe_0^{n-1}a_ie_{i+1}.[/mm].
>
> Wenn ich [mm]\phi(v)[/mm] berechne kommt [mm]e_2[/mm] raus für [mm]v=e_1.[/mm]
Richtig. Das ist der Witz.
Es ist [mm] \phi(e_1)=e_2, \phi(e_2)=e_3 [/mm] usw.
> Wenn
> ich dann aber [mm]\phi^2(v)[/mm] berechne, was soll dann da
> rauskommen?
Himmel! Hier krankt es an wesentlichem...
Was ist denn mit [mm] \phi^2 [/mm] gemeint? Ich sag's Dir: [mm] \phi\circ\phi.
[/mm]
Jetzt berechne doch mal [mm] \phi^2(e_1), \phi^3(e_1) [/mm] usw.
Ich hoffe, daß es Dir jetzt wie Schuppen von den Augen fällt.
> Hoffe mal, ich habe mich einigermaßen verständlich
> ausgedrückt.
Ja.
Gruß v. Angela
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