charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Do 19.07.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | | Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und F [mm] \in [/mm] End(V). Zeige, dass das charakteristische Polynom [mm] p_{F}(0)\not= [/mm] 0 genau dann, wenn F ein Isomorphismus ist. |
Hallo Zusammen,
ich hab keinen Schimmer wie ich die Aufgabe lösen soll und die Aufgabe ist für meine morgige KLausur relevant :-/
Könnte mir bitte bitte jemand bei der Aufgabe helfen.
Vielen lieben Dank.
Gruß, Steffy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und F [mm]\in[/mm] End(V).
> Zeige, dass das charakteristische Polynom [mm]p_{F}(0)\not=[/mm] 0
> genau dann, wenn F ein Isomorphismus ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich hoffe, daß Dir die Basics bekannt sind, und unter dieser Voraussetzung will ich Dir einige Hinweise geben, versteh' sie als Anregung dafür, welches Handwerkszeug Du auspacken mußt.
Du kannst statt der obigen Aussage ja auch zeigen: [mm] p_{F}(0)= [/mm] 0 <==> F ist kein Isomorphismus.
1. F Isomorphismus <==> Kern F =0
2. Was haben die Nullstellen des charakteristischen Polynoms mit der Abbildung zu tun?
3. Wie berechnet man die Eigenräume?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 19.07.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Abbildung, aber ich weiß nicht wie ich das für den Beweis verwenden soll.
Ich komm irgendwie, trotz deiner Tipps, nicht weiter. :-(
Könntest du mir bitte weiterhelfen?
Vielen lieben Dank.
Gruß, Steffy
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> die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die
> Eigenwerte der Abbildung, aber ich weiß nicht wie ich das
> für den Beweis verwenden soll.
Wir beweisen jetzt folgendes:
[mm] "p_F(0)=0 [/mm] ==> F ist kein Isomorphismus"
Sei [mm] p_F(0)=0.
[/mm]
Wie Du selbst sagst, ist dann 0 ein Eigenwert von F.
Dazu gibt es natürlich einen Eigenvektor [mm] v\not=0.
[/mm]
Was ist Fv?
Fv=...
==> [mm] v\in [/mm] Kern?
==>...
Kühlen Kopf bewahren! Ist nicht schwierig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 19.07.2007 | | Autor: | Steffy |
Danke für die Tips.
Ich glaub, ich hab es jetzt raus.
Gruß, Steffy
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> Danke für die Tips.
>
> Ich glaub, ich hab es jetzt raus.
Prima! Dann könntest Du Dich noch an der Rückrichtung versuchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:02 Do 19.07.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo Angela,
könntest du vielleicht die Lösung in das Forum stellen???
Ich würd auch gern die Aufgabe verstehen.
Vielen Dank im voraus.
Gruß, clover
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> Hallo Angela,
>
> könntest du vielleicht die Lösung in das Forum stellen???
>
> Ich würd auch gern die Aufgabe verstehen.
>
> Vielen Dank im voraus.
Hallo,
ich hatte ja schon ziemlich deutliche Ansätze gepostet.
Wie weit bist Du denn gekommen? An welcher Stelle kommst Du nicht weiter?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 19.07.2007 | | Autor: | clover84 |
Ich komm leider mit den Hinweisen auf keine Lösung :-( Ich probier die ganze Zeit schon rum.
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen???
Es wurmt mich irgendwie, dass ich das nicht hinbekomme.
Dankeschön im voraus
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> Ich komm leider mit den Hinweisen auf keine Lösung :-( Ich
> probier die ganze Zeit schon rum.
Was machst Du denn?
Ich schrieb:
"Wir beweisen jetzt folgendes:
$ [mm] "p_F(0)=0 [/mm] $ ==> F ist kein Isomorphismus"
Sei $ [mm] p_F(0)=0. [/mm] $
Wie Du selbst sagst, ist dann 0 ein Eigenwert von F.
Dazu gibt es natürlich einen Eigenvektor $ [mm] v\not=0. [/mm] $
Was ist Fv? "
Ja, was ist denn Fv, wenn v der Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist?
Fv=...
==> $ [mm] v\in [/mm] $ Kern?
und weil [mm] v\not=0, [/mm] ist [mm] kern...\not=..., [/mm] also???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Fr 20.07.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo,
würde sich bitte jemand meiner erbarmen und den Beweis aufschreiben?? :-(
Ich seh einfach nicht, was an der Aufgabe einfach sein soll.
Vielen lieben Dank im voraus.
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v ein Eigenvektor von F zum Eigenwert 0 ist, dann ist Fv=0 [mm] ==>v\in [/mm] kernF ==> [mm] kernF\not=0 [/mm] ==> F ist nicht injektiv.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Do 19.07.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo Steffy,
könntest du vielleicht deine Lösung ins Forum setzen. Der Beweis würde mich echt mal interessieren. Wäre echt super von dir.
Danke im voraus.
clover
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