charakteristik eines körpers < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Di 15.01.2008 | | Autor: | bobby |
hallo!
Kann mir vielleicht jemand bei der lösung dieser aufgabe helfen??
Zeige: Sei K endlicher Körper mit [mm] p^{m} [/mm] Elementen, [mm] p\in\IP. [/mm] Dann ist char(K)=p.
also eigentlich klingt das total logisch, aber ich krieg das mit dem beweis nicht so hin.
char(K)=p bedeutet ja, dass man das 1-Element p-mal aufaddiert bis 0 rauskommt, aber wie kann ich das damit vereinbaren, dass die mächtigkeit von K [mm] p^{m} [/mm] ist???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:33 Mi 16.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Kann mir vielleicht jemand bei der lösung dieser aufgabe
> helfen??
Hier ist die Hilfe.
> Zeige: Sei K endlicher Körper mit [mm]p^{m}[/mm] Elementen, [mm]p\in\IP.[/mm]
> Dann ist char(K)=p.
>
> also eigentlich klingt das total logisch, aber ich krieg
> das mit dem beweis nicht so hin.
>
> char(K)=p bedeutet ja, dass man das 1-Element p-mal
> aufaddiert bis 0 rauskommt, aber wie kann ich das damit
> vereinbaren, dass die mächtigkeit von K [mm]p^{m}[/mm] ist???
Die Ordnung der 1 in der additiven Gruppe von K muß ein Teiler von [mm] p^{m} [/mm] sein (Gruppentheorie, Satz von Lagrange). Andererseits muß sie eine Primzahl sein, weil Körper nullteilerfrei sind. Wäre sie nämlich n = rs, dann wäre ... ? Beides zusammen ergibt die Behauptung.
Mit etwas Text müßtest du das jetzt hinkriegen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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