char. Polynom Irreduzibles Pol < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Sa 04.05.2013 | | Autor: | MrPan |
Hallo,
im Moment behandeln wir die Eigenschaften der Minimalpolynome, in Büchern und Skripten bleib ich an folgenden Aussagen hängen:
1) das char. polynom [mm] P_A [/mm] einer quadr. Matrix, teilt [mm] q_A^n [/mm] das Minimalpolynom hoch n.
aus dem Satz von Cayley-Hamliton folgt, dass [mm] q_A, P_A [/mm] teilt.
Kann man jetzt einfach zeigen, dass [mm] q_A^n(\lambda_i)=0 [/mm] und [mm] P_A(\lambda_i)=0 [/mm] => [mm] P_A [/mm] teilt [mm] q_A^n [/mm] ?
2) daraus folgt, [mm] P_A [/mm] und [mm] q_A^n [/mm] enthalten die gleichen irreduziblen Polynome.
Irgendwie ist das mir schon klar, aber ich versteh nicht so ganz was dahintersteckt:
Ein Beispiel:
[mm] p_A=(x+5)(x+1)^3
[/mm]
[mm] q_A=(x+5)(x+1)
[/mm]
sind x+5 und x+1 hier die irreduziblen Polynome?
Leider habe ich in der Literatur keine Beweise/Erläuterungen gefunden, deshalb hoffe ich das jemand mir das näherbringen kann. Danke.
Gruß
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moin,
> 1) das char. polynom [mm]P_A[/mm] einer quadr. Matrix, teilt [mm]q_A^n[/mm]
> das Minimalpolynom hoch n.
> Kann man jetzt einfach zeigen, dass [mm]q_A^n(\lambda_i)=0[/mm] und
> [mm]P_A(\lambda_i)=0[/mm] => [mm]P_A[/mm] teilt [mm]q_A^n[/mm] ?
Nein, so einfach geht das leider nicht. Es könnte ja sein, dass keines der beiden Polynome überhaupt Nullstellen hat - selbst dann gilt die Aussage. Sollst du das wirklich selbstständig beweisen, ist kein Beweis oder Hinweis gegeben?
> 2) daraus folgt, [mm]P_A[/mm] und [mm]q_A^n[/mm] enthalten die gleichen
> irreduziblen Polynome.
>
> Irgendwie ist das mir schon klar, aber ich versteh nicht so
> ganz was dahintersteckt:
>
> Ein Beispiel:
>
> [mm]p_A=(x+5)(x+1)^3[/mm]
> [mm]q_A=(x+5)(x+1)[/mm]
>
> sind x+5 und x+1 hier die irreduziblen Polynome?
Ja, das sind sie.
Sagen dir die Begriffe prim und irreduzibel etwas, kennst du den Zusammenhang?
Da diese in $K[x]$ für einen Körper $K$ äquivalent sind, betrachtet man hier also die Primfaktorzerlegungen der Polynome und die Aussage ist: Sie haben die gleichen Primfaktoren.
> Leider habe ich in der Literatur keine
> Beweise/Erläuterungen gefunden, deshalb hoffe ich das
> jemand mir das näherbringen kann. Danke.
Der Beweis, dass die beiden Polynome die gleichen irreduziblen Faktoren haben, ist je nach deinem Vorwissen anders zu führen oder unter Umständen sehr schwierig.
Daher erzähl doch mal woher du deine bisherigen Infos hast, was du bereits weißt und welche Quellen du nutzt.
lg
Schadow
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