char. Funktionen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | zz.: [mm]N_{0,1}[/mm] hat die charakterist. Funktion [mm]e^{-\frac{1}{2}x^2}[/mm] |
Hallo zusammen,
obiges wird als "Bsp." in unserem Stoch-I Skript "vorgerechnet"
Vorbem.: [mm]X\sim N_{0,1}[/mm] mit Dichte [mm]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}[/mm] und die char. Funktion [mm]\varphi[/mm] berechnet sich durch:
[mm]\varphi(t)=\int{e^{itx}f(x) \ dx}[/mm], also ist [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{e^{itx}e^{-\frac{1}{2}x^2} \ dx}[/mm] zu berechnen.
Da schreibt er lapidar, das sei [mm]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{\cos(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} \ dx}[/mm]
Meine Frage: Wieso ist [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{i\sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} \ dx}=0[/mm]
Ich sehe zwar, dass der Integrand ungerade ist, dass also das Integral über jedes endliche um 0 symmetr. Intervall verschwindet, aber es wird ja von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] integriert.
Wieso verschwindet das Integral?
Wäre nett, wenn mir jemand kurz helfen könnte ...
Danke
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Hallo Schachuzipus.
Es ist
(*) [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}= \integral_{- \infty}^{0}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}+\integral_{0}^{\infty}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}
[/mm]
Nun betrachten wir für a>0 das Integral
[mm] \integral_{0}^{a}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}.
[/mm]
Mit der Substitution x=-u bekommen wir
$ [mm] \integral_{0}^{a}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}= -\integral_{-a}^{0}{sin(tu)e^{-\frac{1}{2}u^2} du}.$
[/mm]
Das bedeutet:
$ [mm] \integral_{- \infty}^{0}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}= [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}$.
[/mm]
Aus (*) folgt dann:
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{sin(tx)e^{-\frac{1}{2}x^2} dx}=0
[/mm]
Gruß FRED
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Hallo Fred und danke erstmal,
sowas in der Art hatte ich auch schon überlegt.
M.E. muss man aber noch begründen, dass die Integrale endlich sind.
Das Problem ist je immer sowas wie [mm] $\infty-\infty$.
[/mm]
Oder was meinst du?
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred und danke erstmal,
>
> sowas in der Art hatte ich auch schon überlegt.
>
> M.E. muss man aber noch begründen, dass die Integrale
> endlich sind.
Das sind sie:
[mm] |sin(tx)*e^{-\bruch{1}{2}x^2}| \le e^{-\bruch{1}{2}x^2}
[/mm]
und das Integral [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}x^2} dx} [/mm] ist konvergent.
FRED
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> Das Problem ist je immer sowas wie [mm]\infty-\infty[/mm].
>
>
> Oder was meinst du?
>
> Gruß
> schachuzipus
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Hi Fred,
ja, das ist mir gerade unterwegs auf dem Roller auch eingefallen.
Danke dir!
Gruß
schachuzipus
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