bogenlänge? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Laurie |
weiß vielleicht jemand, wie man eine bogenlänge berechnet??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laurie!
Die Formel für die Berechnung einer Bogenlänge $s$ lautet:
$s \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2} {\wurzel{1 + (y')^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2} {\wurzel{1 + \left[f'(x)\right]^2} \ dx}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Laurie |
hm... aber wie etz ich das denn jetzt da ein also die Ableitungsfunktion lautet doch 1/8 x³ - 1/x oder? aber wie mach ich das denn jetzt mit dem +1 rechnen und dann noch davon die wurzel ziehen??
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:51 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Laurie
Bei der Ableitung hast du wohl integriert statt differenziert
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{x}
[/mm]
Das fassen wir erstmal zusammen:
[mm] f'(x)=\bruch{x^{2}-2}{2x}
[/mm]
Jetzt bilden wir [mm] (f'(x))^{2}
[/mm]
[mm] (f'(x))^{2}=\bruch{x^{4}-4x^{2}+4}{4x}
[/mm]
Jetzt addieren wir 1 dazu und fassen zusammen:
[mm] 1+\bruch{x^{4}-4x^{2}+4}{4x}
[/mm]
[mm] \bruch{x^{4}-4x^{2}+4x+4}{4x}
[/mm]
Und jetzt durch 4x dividieren und du erhälst 4 einzelne Summanden , die sich ganz leicht integrieren lassen!
Alles klar?
PS: Bitte alles noch mal nachrechnen.
Gruß Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
> Und jetzt durch 4x dividieren und du erhälst 4 einzelne
> Summanden , die sich ganz leicht integrieren lassen!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Leider hast Du hier die Wurzel vergessen (siehe Formel), so daß das Integrieren nicht ganz so einfach ist ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Laurie
Da hat Loddar natürlich recht. Die Wurzel hab ich natürlich vergessen, dann wird die ganze Sache natürlich etwas komplizierter. Ich werd mal versuchen , das Problem zu lösen. Kann aber nichts versprechen!
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Laurie |
hm also wie jetzt? ich muss einmal [mm] \wurzel{x^4/4x} [/mm] rechnen, dann [mm] \wurzel{4x²/4x}, \wurzel{4x/4x} [/mm] und dann noch [mm] \wurzel{4/4x} [/mm] einzeln integrieren??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Laurie |
das hab ich mir schon gedacht aber was nun?
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Hi, Laurie,
also: Das Zwischenergebnis von persilous ist falsch, da das Quadrat im Nenner fehlt.
Drum ergibt sich letztlich: [mm] \integral{\wurzel{\bruch{x^{4}+4}{4x^{2}}}dx} [/mm]
Für x>0 könnte man dafür schreiben: [mm] \integral{\bruch{1}{2x}* \wurzel{x^{4}+4}dx}
[/mm]
Nun würd' ich's mit der Substitution [mm] z=x^{2} [/mm] versuchen.
Da erhält man: dx = [mm] \bruch{dz}{2x} [/mm] und somit:
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{z^{2}+4}}{4z}dz} [/mm]
So: Und nun bin ich zu faul und schau in meiner Formelsammlung nach. Dort finde ich:
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{x^{2}+a^{2}}}{x}dx} [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2}+a^{2}} [/mm] - [mm] a*ln|\bruch{a+\wurzel{x^{2}+a^{2}}}{x}| [/mm] +c
Und damit kannst Du's nun selbst lösen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Laurie |
was meinst du denn mit für x=0, muss ich für x die grenzen einsetzen? und was meinst du mit a ? wenn die grenzen e² und 1 sijnd muss ich die dann n die letzte formel die du aufgeschrieben hast einsetzen oder wie?
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Hi. Laurie,
wenn Du wüsstest, was ich für ein fauler Kerl bin! Aber Du "zwingst" mich ja gradezu, die Sache fertigzumachen!
> was meinst du denn mit für x=0,
Ich hab' bloß die Stammfunktionen für x>0 (x>0 !!!, nicht x=0; das geht gar nicht!!!) ermittelt! Die Grenzen muss man dann schon noch einsetzen!
Für Dein Integral ist a=2 und zudem kommt der Faktor [mm] \bruch{1}{4} [/mm] davor; außerdem müssen (wegen [mm] z=x^{2} [/mm] die Grenzen umgerechnet werden: [mm] z_{1}=1, z_{2}=e^{4}.
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{4}*[\wurzel{z^{2}+4}-2*ln|\bruch{2+\wurzel{z^{2}+4}}{z}|]^{e^{4}}_{1}
[/mm]
Aber bitte! Das rechne jetzt wirklich selbst aus!
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Eine konkrete Idee zur Lösung habe ich gerade nicht zur Hand ...
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
[mm] $\wurzel{a + b} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b}$
[/mm]