binomischer Lehrsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 21.10.2008 | | Autor: | versager |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}\vektor{n \\ k} [/mm] = 0
Zeigen Sie, dass folgende Summenformel für alle Zahlen n [mm] \in \IN [/mm] ( mit null) gilt.
Hinweis : Sie können dabei den Binomischen Lehrsatz verwenden. |
Hallo Leute,
mir geht es bei dieser Aufgabe mal darum, wie man solche prinzipiell löst...
Ich versteh da leider nicht all zu viel...
Also es wäre sehr nett, wenn man mir auch etwas allgemeins dazu sagen könnte....
gruß
alex
und DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 21.10.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}\vektor{n \\ k}[/mm] = 0
>
> Zeigen Sie, dass folgende Summenformel für alle Zahlen n
> [mm]\in \IN[/mm] ( mit null) gilt.
>
> Hinweis : Sie können dabei den Binomischen Lehrsatz
> verwenden.
> Hallo Leute,
>
> mir geht es bei dieser Aufgabe mal darum, wie man solche
> prinzipiell löst...
Hallo,
die wenigsten Aufgaben lassen sich "allgemein" oder "prinzipiell" lösen, es geht immer um die konkreten Bedingungen.
Hier müsstest du konkret das Pascalsche Dreieck und/oder den binomischen Lehrsatz kennen, außerdem die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten (also [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k}) [/mm] und die Beziehung [mm] \vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] bzw. die Aufbauvorschrift des Pascalschen Dreiecks.
Gruß Abakus
> Ich versteh da leider nicht all zu viel...
> Also es wäre sehr nett, wenn man mir auch etwas allgemeins
> dazu sagen könnte....
>
>
>
> gruß
> alex
>
>
> und DANKE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 21.10.2008 | | Autor: | versager |
Könntest du mir mal den Ansatz geben zum lösen dieser Aufg. mit dem Binomischen Lehrsatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Di 21.10.2008 | | Autor: | alexwie |
Hi
Der binomische Lehrsatz besagt ja folgendes:
[mm] (x+y)^n=\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k}x^ky^{n-k}
[/mm]
Wenn du nun für x=1 und y=-1 einsetzt steht auf der linken seite 0 und auf der rechten genau das was du zeigen willst.
Lg Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Di 21.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Es gilt doch: [mm] $\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}*\vektor{n \\ k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n} \red{1^{n-k}}*(-1)^{k}*\vektor{n \\ k}$
[/mm]
Und nun den binomischen Lehrsatz anwenden mit:
[mm] $$(x+y)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n} x^k*y^{n-k}*\vektor{n \\ k}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 22.10.2008 | | Autor: | versager |
Könntest du noch einen weiteren Schritt machen?
Ich komm noch nicht drauf....
Danke....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 22.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wende den Satz mal "Rückwärts" an.
Also:
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}\cdot{}\vektor{n\\k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}(\underbrace{1}_{y})^{n-k}\cdot{}(\underbrace{-1}_{x})^{k}\cdot{}\vektor{n\\k}
[/mm]
=...
Es gilt doch:
[mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k}\cdot{}y^{n-k}\cdot{}\vektor{n\\k}=(x+y)^{n}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 22.10.2008 | | Autor: | versager |
Hallo, also erstmal danke, dass hier einfach sofort geantwortet wird...
so und nun zu meinem Problem.
Kann mir jemand mal, die Aufgabe komplett fertig machen, damit ich seh, wie ich denn weiter machen muss, ich selber habe das noch nicht gehabt. Es interessiert mich aber.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 22.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}\cdot{}\vektor{n\\k} [/mm] $
$ [mm] =\summe_{k=0}^{n}(\underbrace{1}_{y})^{n-k}\cdot{}(\underbrace{-1}_{x})^{k}\cdot{}\vektor{n\\k} [/mm] $
[mm] =(-1+1)^{n}
[/mm]
=...
Den Rest schaffst du schon
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 22.10.2008 | | Autor: | versager |
= ( -1+1 [mm] )^{n}
[/mm]
= [mm] (0)^{n}
[/mm]
= 0
okay damit habe ich es ja bewiesen.
Ich habe noch ne Frage:
[mm] (a+b)^{n}
[/mm]
ich setzte a = 1 und b = -1 damit es null ergibt richtig?
aber was genau zeigt denn den in der Aufgabe angegebenen Ausdruck : [mm] (-1)^{k}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mi 22.10.2008 | | Autor: | versager |
hat sich erledigt!
danke gruß alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Versager,
> = ( -1+1 [mm])^{n}[/mm]
>
> = [mm](0)^{n}[/mm]
>
> = 0
>
> okay damit habe ich es ja bewiesen.
>
> Ich habe noch ne Frage:
>
> [mm](a+b)^{n}[/mm]
>
> ich setzte a = 1 und b = -1 damit es null ergibt richtig?
>
> aber was genau zeigt denn den in der Aufgabe angegebenen
> Ausdruck : [mm](-1)^{k}[/mm]
ich sehe gerade, dass es sich erledigt hat. Nichtsdestotrotz:
Wenn Du Probleme beim Umgang mit dem Summenzeichen hast, schreib' Dir notfalls mal (nur, um ein besseres Gefühl im Umgang mit dem Summenzeichen zu entwickeln) die Summen einzeln (notfalls an Beispielen) auf:
Z.B. für [mm] $n=4\,:$ [/mm]
[mm] $$((-1)+1)^4\overset{\text{bin. Satz}}{=}\sum_{k=0}^4 [/mm] {4 [mm] \choose k}(-1)^k *1^{4-k}$$
[/mm]
$$={4 [mm] \choose [/mm] 0} [mm] (-1)^0*1^4+{4 \choose 1} (-1)^1*1^3+{4 \choose 2} (-1)^2*1^2+{4 \choose 3} (-1)^3*1^1+{4 \choose 4} (-1)^4*1^0=...$$
[/mm]
Und generell gilt für $k [mm] \in \IZ$:
[/mm]
[mm] $$(-1)^k=\begin{cases} -1, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade}\,, \\ 1, & \mbox{für } k \mbox{ gerade}\,. \end{cases}$$
[/mm]
Aber anscheinend hast Du Dir das ja alles schon selbst klar gemacht 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Mi 22.10.2008 | | Autor: | versager |
auch wenn ich denke, dass ich es schon vorher verstanden habe, bedanke ich mich für deine Hilfe!
Aber du hast mich dadurch nocheinmal ergänzt... deswegen war es sehr gut.
gruß alex
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