bildungsgesetz arith. 2. Ordnu < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 02.08.2008 | | Autor: | cmg |
| Aufgabe | Gegen ist die Zahlenfolge: 1, 5/6, 7/11, 9/18, 11/27, ...
Ermitteln Sie [mm] a_n [/mm] |
So,
ich habe Nenner und Zähler getrennt betrachtet. Oben ist die DIfferenz immer zwei, also konnte ich einfach einsetzen in [mm] a_n=a_1 [/mm] + (n-1) * d
=> 3 + (n-1) * 2
<=> 2*n +1
Im Nenner ist der Abstand erst in zweiter Ordnung mit 2 festzustellen.
Nur wie packe ich sowas in ein Bildungsgesetzt, da muss es doch irgendeine Vorschrift geben. Ich bin ca. 30 Minuten am probieren, das kanns doch nicht sein :)
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> Gegen ist die Zahlenfolge: 1, 5/6, 7/11, 9/18, 11/27, ...
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> Ermitteln Sie [mm]a_n[/mm]
> So,
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> ich habe Nenner und Zähler getrennt betrachtet. Oben ist
> die DIfferenz immer zwei, also konnte ich einfach einsetzen
> in [mm]a_n=a_1[/mm] + (n-1) * d
> => 3 + (n-1) * 2
> <=> 2*n +1
Beinahe, aber [mm] $a_1$ [/mm] ist nicht $3$ sondern $1$ - oder hast Du dies in der obigen Aufgabenbeschreibung falsch hingeschrieben? Da wirst Du wohl beim Hinschreiben des allgemeinen Folgengliedes [mm] $a_n$ [/mm] eine Fallunterscheidung, $n=1$ oder [mm] $n\geq [/mm] 2$, machen müssen.
>
> Im Nenner ist der Abstand erst in zweiter Ordnung mit 2
> festzustellen.
> Nur wie packe ich sowas in ein Bildungsgesetzt, da muss es
> doch irgendeine Vorschrift geben. Ich bin ca. 30 Minuten am
> probieren, das kanns doch nicht sein :)
Die Folge der ersten Differenzen des Nenners ist also eine arithmetische Folge 1. Ordnung. Schreib die mal hin. Der Nenner selbst ist dann im wesentlichen die zugehörige Summenfolge, denn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder der Summenfolge ist ja einfach gleich dem neu dazugekommenen Summanden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo cmg,
beim Zähler hast du Recht. Wenn man die 1 als [mm] $\frac{3}{3}$ [/mm] schreibt, ist [mm] $b_n=2n+1$.
[/mm]
Beim Nenner fällt mir auf, dass die Differenzen der Zähler und Nenner immer Quadratzahlen sind: 0, 1, 4, 9, 16...
In eine Formel gepackt wäre das: [mm] $c_n=b_n+(n-1)^2$. [/mm] Wenn du das [mm] $b_n$ [/mm] von oben einsetzt, kommst du auf [mm] $c_n=n^2+2$.
[/mm]
Insgesamt ist dann
[mm] $a_n=\frac{b_n}{c_n}=\frac{2n+1}{n^2+2}$
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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