bildung einer Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Di 13.06.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Linearformen [mm] \delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}:
[/mm]
[mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] mit [mm] \delta_{1} [/mm] (x,y,z)= x+2y+z, [mm] \delta_{2} [/mm] (x,y,z)=2x+3y+3z, [mm] \delta_{3} [/mm] (x,y,z)=3x+7y+z eine Basis von [mm] (\IR^{3})^{ \*} [/mm] bilden und berechnen Sie die dazu duale Basis in [mm] \IR^{3}. [/mm] |
Hallo, nun bin ich an dieser Aufgabe und habe auch eine Idee, wie man rangehen kann, wollte aber erst wissen, ob es so richtig ist.
und zwar wollte ich fragen, ob ich die [mm] \delta_{i}, [/mm] also die drei Vektoren nehme und zeigen soll, dass sie linear unabhängig sind??? und was ist
[mm] (\IR^{3})^{ \*} [/mm] ? und die duale Basis??
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhilft..ich danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Der Raum [mm] $(\IR^3)^{\ast}$ [/mm] ist der Dualraum von [mm] $\IR^3$, [/mm] der Raum der linearen Abbidungen von [mm] $\IR^3$ [/mm] in [mm] $\IR$.
[/mm]
Um zu zeigen, dass [mm] $\delta_1,\delta_2,\delta_3$ [/mm] linear unabhängig sind, musst du wie üblich annehmen, dass es [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in \IR$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1\delta_1+\lambda_2\delta_2+\lambda_3\delta_3=0$ [/mm] gibt. Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm] $(\lambda_1\delta_1+\lambda_2\delta_2+\lambda_3\delta_3)(x)=0$, [/mm] also [mm] $x_1(\lambda_1+2\lambda_2+3\lambda_3)+x_2(2\lambda_1+3\lambda_2+7\lambda_3)+x_3(\lambda_1+3\lambda_2+\lambda_3)=0$ [/mm] für alle [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)\in\IR^3$ [/mm] gilt. Setzt du nun $x=(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$, erhältst du drei Gleichungen. Untersuche, ob diese für [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\neq [/mm] 0$ lösbar sind. Erinnere dich: um zu zeigen, dass Vektoren linear unabhängig sind, musst du zeigen, dass die einzige Linearkombination des Nullvektors die triviale ist.
Aus der linearen Unabhängigkeit folgt dann sofort die Basiseigenschaft, da [mm] $(\IR^3)^{\ast}$ [/mm] die Dimension 3 hat (warum?).
Liebe Grüße,
Hanno
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