bijektive Abbildung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Do 01.12.2011 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei [mm] M=\{1, 2, 3\}. F_{M} [/mm] ist Gruppe aller bijektiven Abbildungen der Menge M auf sich selbst. Bestimmen Sie alle Untergruppe und Normalteiler von [mm] F_M [/mm] |
Abend!!
Ich hoffe jemand kann mir bei der Aufgabe helfen.
Man nennt solche Gruppe Permutationsgruppe und es gibt hier 6 Permutationen. Meine Frage ist wie unterteilt man diese Permutationen in Untergruppen und Normalteiler?
Vielen Dank im Voraus
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Do 01.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]M=\{1, 2, 3\}. F_{M}[/mm] ist Gruppe aller bijektiven
> Abbildungen der Menge M auf sich selbst. Bestimmen Sie alle
> Untergruppe und Normalteiler von [mm]F_M[/mm]
>
> Ich hoffe jemand kann mir bei der Aufgabe helfen.
> Man nennt solche Gruppe Permutationsgruppe und es gibt
> hier 6 Permutationen. Meine Frage ist wie unterteilt man
> diese Permutationen in Untergruppen und Normalteiler?
Nun, such doch erstmal alle Untergruppen. Dazu schaust du zuerst die Untergruppe an, die von einem Element erzeugt werden. Sprich du faengst mit eniem Element [mm] $\sigma$ [/mm] an, berechnest [mm] $\sigma \circ \sigma$, $\sigma \circ \sigma \circ \sigma$, $\sigma^{-1}$, [/mm] etc. Damit bekommst du schonmal einige Untergruppen.
Dann schaust du, ob es Untergruppen gibt die von zwei Elementen erzeugt werden (und die nicht bereits die ganze Gruppe sind). Du wirst schnell feststellen (insb. wenn du Lagrange benutzt), dass das nicht geht. Damit sind diese Untergruppen zusammen mit [mm] $F_M$ [/mm] und [mm] $\{ id \}$ [/mm] bereits alle Untergruppen.
Um zu schauen, welche davon Normalteiler sind, schreib einfach jeweils alle Links- und alle Rechtsnebenklassen hin (ausser bei [mm] $F_M$ [/mm] und [mm] $\{ id \}$). [/mm] Dann siehst du schnell, welche davon Normalteiler sind und welche nicht.
Und denk dran: je mehr Theorie du verwendest, desto einfacher bzw. rechen-unaufwaendiger wird es.
LG Felix
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