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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Do 17.05.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Konstruieren Sie eine bijektive Abbildung von [mm]\IN_0 := \IN \cup \{0\}[/mm] nach [mm] \IZ [/mm] |
Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe die Lösung zu o.g. Aufgabe, verstehe sie aber nicht:
Wir benutzen die geraden Zahlen in [mm]\IN_0[/mm] um sie auf die ganzen Zahlen [mm]\ge 0 [/mm] abzubilden, und die ungeraden, um sie auf die negativen ganzen Zahlen abzubilden.
Jede gerade Zahl in [mm]\IN_0[/mm] ist von der Form 2n für ein [mm]n \in \IN_0[/mm] und jede ungerade hat die Form 2n+1 für ein [mm]n \in \IN_0[/mm]. Wir definieren nun:
[mm]f:\IN_0 \to \IZ, f(2n)=n [/mm] und [mm] f(2n+1)=-(n+1) [/mm] für alle [mm] n \in \IN_0.[/mm]
Um zu zeigen, dass [mm]f[/mm] bijektiv ist, konstruieren wir die zu [mm]f[/mm] inverse Abbildung. Mit der Charakterisierung invertierbarer Abbildungen haben wir damit gezeigt, dass [mm]f[/mm] bijektiv ist. Sei [mm] g:\IZ \to \IN_0, g(z)=2z [/mm] für alle [mm] z \ge 0 [/mm] und [mm] g(z)=-(2z+1) [/mm] für alle [mm]z < 0[/mm].
Wir müssen zeigen, dass [mm] g \circ f = id_\IN_0 [/mm] und [mm] f \circ g = id_\IZ [/mm] sind.
1. Fall: n ist gerade, also [mm] n=2n' [/mm] für ein [mm] n' \in \IN_0 [/mm]. Dann gilt [mm] (g \circ f)(n)=g(f(n))=g(n')=2n'=n.[/mm]
2. Fall: n ist ungerade, also [mm] n=2n'+1 [/mm] für ein [mm] n' \in \IN_0[/mm]. Dann gilt [mm] (g \circ f)(n)=g(f(n))=g(-(n'+1))=2(n'+1)-1=2n'+1=n. [/mm] Es gilt also [mm] g \circ f = id_\IN_0. [/mm]
...
Das Ganze geht noch weiter, aber ich verstehe hier jetzt die 2 Fälle nicht: Warum ist [mm] f(n) = n' [/mm] bzw. [mm] f(n) = -(n'+1)[/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Do 17.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanne!
> Wir definieren nun:
> [mm]f:\IN_0 \to \IZ, f(2n)=n[/mm] und [mm]f(2n+1)=-(n+1)[/mm] für alle [mm]n \in \IN_0.[/mm]
>
> [...]
>
> Das Ganze geht noch weiter, aber ich verstehe hier jetzt
> die 2 Fälle nicht: Warum ist [mm]f(n) = n'[/mm] bzw. [mm]f(n) = -(n'+1)[/mm]
> ?
Weil du das oben so definiert hast: ist $n = 2 n'$, so ist $f(n) = f(2 n') = n'$, und ist $n = 2 n' + 1$, so ist $f(n) = f(2 n' + 1) = -(n' + 1)$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Fr 18.05.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Felix,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe !
Leider verstehe ich es immer noch nicht, ich muss präziser fragen:
1. Warum wird nicht definiert:[mm] f(n)=2n [/mm] , sondern umgekehrt [mm] f(2n)=n [/mm] ?
2. Wieso ist [mm] f(2n+1) [/mm] für negative Zahlen dann nicht auch einfach [mm] = n [/mm] bzw. warum nicht [mm] f(-(2n+1)) = n [/mm] ?
LG Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susanne!
> 1. Warum wird nicht definiert:[mm] f(n)=2n[/mm] , sondern umgekehrt
> [mm]f(2n)=n[/mm] ?
> 2. Wieso ist [mm]f(2n+1)[/mm] für negative Zahlen dann nicht auch
> einfach [mm]= n[/mm] bzw. warum nicht [mm]f(-(2n+1)) = n[/mm] ?
Probiere es doch einfach mal aus und schreibe Dir die Argumente sowie die zugehörigen Funktionswerte hin. Dann wirst Du feststellen, dass z.B. bei Deiner 1. Variante (a) nur auf die positiven Zahlen abgebeildet wird und (b) erzeugst Du damit nur die geraden Zahlen.
Und wir wollen ja dass jedem [mm] $n\in\IN$ [/mm] auch jedes Element aus [mm] $\IZ$ [/mm] (und umgekehrt) zugeordnet wird.
Gruß
Loddar
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Guten Morgen Loddar,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe !
Nächster Versuch:
[mm] f(n) = 2n [/mm]:
1=2
2=4
3=6
[mm] f(2n)=n [/mm]:
0=0
2=1
4=2
6=3
[mm] f(2n+1)=-(n+1) [/mm]
n=0: 1=-1
n=1: 3=-2
n=2: 5=-3
n=3: 7=-4
Und wenn ich einfach definieren würde: [mm] f(n)=-(n+1)[/mm]
0=-1
1=-2
2=-3
dann wäre das Ganze nicht mehr invertierbar/bijektiv oder ?
LG Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 22.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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