biholomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 08.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Ich stehe gerade vor dem Problem, wie ich am besten zeigen kann, dass
die Funktion [mm] f(z)=\bruch{z+i}{z-i} [/mm] die obere Halbebene biholomorph auf den Einheitskreis abbildet.
Ich habe mir überlegt, dass für Im(z)>0 (obere Halbebene) die Funktion überall definiert ist. Somit f(z) eine Komposition von holomorphen Funktion (Zähler holomorph, Nenner holomorph) und somit f(z) holomorph ist?
Es bleibt als zu zeigen, dass f(z) bijektiv ist.
Kann ich hier argumentieren, da sich ja jede Möbiustransformation (was f(z) ja ist), als eine Kompositon der elementaren Transformationen (1/z, a*z, z+b) darstellen lässt und diese bijektiv (1/z für [mm] z\not=0)sind, [/mm] somit auch f(z) bijektiv?
Vielen Dank für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich stehe gerade vor dem Problem, wie ich am besten zeigen
> kann, dass
> die Funktion [mm]f(z)=\bruch{z+i}{z-i}[/mm] die obere Halbebene
> biholomorph auf den Einheitskreis abbildet.
> Ich habe mir überlegt, dass für Im(z)>0 (obere Halbebene)
> die Funktion überall definiert ist. Somit f(z) eine
> Komposition von holomorphen Funktion (Zähler holomorph,
> Nenner holomorph) und somit f(z) holomorph ist?
Genau.
Geht auch anders: Als Moebiustransformation ist sie sowieso auf ganz [mm] $\IC \setminus \{ i \}$ [/mm] holomorph...
> Es bleibt als zu zeigen, dass f(z) bijektiv ist.
> Kann ich hier argumentieren, da sich ja jede
> Möbiustransformation (was f(z) ja ist), als eine
> Kompositon der elementaren Transformationen (1/z, a*z, z+b)
> darstellen lässt und diese bijektiv (1/z für [mm]z\not=0)sind,[/mm]
> somit auch f(z) bijektiv?
Nein, nicht direkt. Einmal sind die Funktionen nicht bijektiv, z.B. $z [mm] \mapsto [/mm] 1/z$ nimmt den Wert $0$ nicht an. Sie ist aber als Funktion [mm] $\IC \setminus \{ i \} \to \IC \setminus \{ -1 \}$ [/mm] bijektiv. Und injektiv ist sie auch.
Du kannst jetzt zeigen, dass $f$ die reelle Achse [mm] $\IR$ [/mm] auf den Einheitskreisrand abbildet. Wegen der Gebietstreue und der Injektivitaet folgt, dass $f$ entweder die obere oder die untere Halbebene auf den Einheitskreis abbildet (das Argument musst du noch etwas ausformulieren; du brauchst das die Funktion injektiv ist, das alle Urbilder des Einheitskreisrandes auf [mm] $\IR$ [/mm] liegen, und dann musst du noch ein wenig mit dem Wegzusammenhang herumspielen). Und wenn du jetzt ausprobierst, wohin $-i$ abgebildet wird, naemlich auf $0$, so wird offensichtlich die untere Halbebene auf den Einheitskreis abgebildet (da ein Punkt aus dieser in der Kreisscheibe landet und nicht ausserhalb).
LG Felix
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