beweise folgende Identitäten < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man beweise folgende Identitäten!
(a) [mm] cosh^{2} [/mm] x - [mm] sinh^{2} [/mm] x = 1
(b) artanh x [mm] =\bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] \bruch{1 + x}{1 - x} [/mm] , (|x| < 1) |
Hallo
Ich habe a schon gelöst, aber ich bekomme b nicht hin kann mir einer helfen?
mfg
|
|
| |
|
Hallo thunder,
was dürft Ihr denn zum "beweisen" benutzen? Mir sieht es ja mehr nach einer Rechenaufgabe unter Anwendung der hyperbolischen Funktionen aus.
Wende mal den tanh auf beide Seiten der Gleichung an.
Dann steht links nur noch ein x und rechts ein üppiger Bruch mit großem Bahnhof an Exponentialfunktionen. Aber eigentlich wird dann eben auch nur noch gerechnet, bis sich alles auf ein x reduziert, so wie links.
Probiers mal.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Man beweise folgende Identitäten!
> (a) [mm]cosh^{2}[/mm] x - [mm]sinh^{2}[/mm] x = 1
> (b) artanh x [mm]=\bruch{1}{2}[/mm] ln [mm]\bruch{1 + x}{1 - x}[/mm] , (|x|
> < 1)
> Hallo
> Ich habe a schon gelöst, aber ich bekomme b nicht hin
> kann mir einer helfen?
[mm]\operarotname{artanh}(x)[/mm] ist die Umkehrfunktion von [mm]\tanh(x)[/mm]
Und [mm]\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}[/mm]
Benutze die Definition von [mm]\sinh[/mm] und [mm]\cosh[/mm] und du siehst schnell, dass man [mm]\tanh(x)[/mm] schreiben kann als [mm]\tanh(x)=1-\frac{2}{e^{2x}+1}[/mm]
Um die Umkehrfunktion davon zu berechnen, löse [mm]1-\frac{2}{e^{2x}+1}=y[/mm] nach [mm]x[/mm] auf und vertausche anschließend [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
