beweis unklar < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mi 13.08.2008 | | Autor: | lum_pi |
Hallo, wie kann ich die folgende aufgabe formal korrekt lösen? :
zeigen sie: [mm] (x+1)*ln(x+1)\ge [/mm] arctan(x) für [mm] x\ge1 [/mm] .
vielen dank für eine antwort.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
|
|
| |
|
Wieso nur für [mm]x \geq 1[/mm]? Meiner Ansicht nach gilt das sogar für [mm]x \geq 0[/mm].
Betrachte zum Beweis für [mm]x \geq 0[/mm] die Funktion [mm]f[/mm] mit
[mm]f(x) = (x+1) \ln (x+1) - \arctan x[/mm]
Zeige:
1. [mm]f(0) = 0[/mm]
2. [mm]f'(x) > 0[/mm] für [mm]x>0[/mm]
Was folgt aus beiden Eigenschaften über den Verlauf des Graphen von [mm]f[/mm]? Was heißt das also für die zu beweisende Ungleichung?
|
|
|
| |
|
> Wieso nur für [mm]x \geq 1[/mm]? Meiner Ansicht nach gilt das sogar
> für [mm]x \geq 0[/mm].
umso besser, aber wer hindert den Autor der Aufgabe,
nur den Nachweis für [mm] x\ge [/mm] 1 zu verlangen ?
LG
|
|
|
| |
|
Das stimmt natürlich. Warum dann aber nicht [mm]x \geq \frac{2\pi}{9}[/mm]?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 13.08.2008 | | Autor: | lum_pi |
vielen dank für die schnelle antwort.
daraus folgt dann, dass der erste teil der ableitung also ln(x+1)+1 [mm] \ge [/mm] als die ableitung vom 2ten term also vom arctan(x) mit [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] also:
[mm] f'(x)=ln(x+1)+1-\bruch{1}{x^2+1} [/mm] und da der 2te term also kleiner ist als der erste für [mm] x\ge0 [/mm] ist f'(x) auch größer als 0 und demnach ist dann [mm] (x+1)ln(x+1)\ge [/mm] arctan(x) .
reicht das für eine formal korrekte lösung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Do 14.08.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo lum_pi!
Du must die Ungleichung der Ableitung explizit beweisen, dass hier gilt
1 + ln(x+1) >= [mm] \bruch{1}{x^2 +1} [/mm] für x>= 0
Diese Ungleichung wird dann auf dem Intervall [ 0; x] integriert und dabei als Untergrenze den Wert 0 eingesetzt. Sowohl (x+1)ln(x+1) wie arctan(x) haben an der Stelle Null den Wert Null!
Das Integral liefert dann die gesuchte Ungleichung!
oK?
|
|
|
| |
|
[mm]f(x) = (x+1) \ln(x+1) - \arctan x[/mm] für [mm]x \geq 0[/mm]
[mm]f(0) = 1 \cdot \ln 1 - \arctan 0 = 0[/mm]
[mm]f'(x) = \ln(x+1) + 1 - \frac{1}{1+x^2} = \ln(x+1) + \frac{x^2}{1+x^2} > 0[/mm] für [mm]x>0[/mm]
Der Bruch zuletzt ist offenbar größer als 0, aber auch bei [mm]\ln(x+1)[/mm] ist das so.
Die Funktion [mm]f[/mm] ist für [mm]x \geq 0[/mm] also streng monoton wachsend. Da ihr Graph wegen [mm]f(0) = 0[/mm] im Ursprung beginnt, folgt
[mm]f(x) > 0[/mm] für [mm]x > 0[/mm]
und daher
[mm](x+1) \ln(x+1) > \arctan x[/mm] für [mm]x > 0[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Do 14.08.2008 | | Autor: | lum_pi |
alles klar, stimmt so gehts, vielen dank an alle beteiligten.
|
|
|
|
