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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Ist f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion mit |f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] (x-y)² für alle x,y, so ist f konstant. |
hey leute,
hat jemand eine idee, wie man das beweisen könnte? hab das skript schon 3mal gelesen und finden keinen hinweis. wäre lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
lg bonczi
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Setze speziell [mm]y = x+h[/mm] mit einem [mm]h \neq 0[/mm]. Vereinfache die Ungleichung und dividiere sie durch [mm]|h|[/mm]. Dann [mm]h \to 0[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
danke für deine hilfe.
ok also
|f(x) - f(x+h)| [mm] \le [/mm] (x - (x+h))²
|f(h)| [mm] \le [/mm] h² -durch |h| dividieren
[mm] \bruch{|f(h)|}{|h|} \le [/mm] h
ist das richtig so? wenn ja wieso ist dann f jetzt eine konstante?
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Nein, das ist nicht richtig. Mir scheint, du hast da einen ganz schlimmen Klops gebracht: [mm]f(x) - f(x+h)[/mm] kann nicht vereinfacht werden. [mm]f[/mm] ist eine Funktion, die auf [mm]x[/mm] bzw. [mm]x+h[/mm] angewendet wird. HIER HANDELT ES SICH NICHT UM EINE MULTIPLIKATION. DA FÄLLT ALSO AUCH NICHTS WEG.
Die Rechnung geht so:
[mm]\left| f(x) - f(x+h) \right| \leq h^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{\left| f(x) - f(x+h) \right|}{\left| h \right|} \leq |h| \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right| \leq |h|[/mm]
Beachte: [mm]h^2 = |h|^2[/mm]. Wenn man also durch [mm]|h|[/mm] dividiert, bleibt auch [mm]|h|[/mm] übrig. Die Differenz im Zähler des Bruches habe ich nur der Optik halber umgedreht. Wegen der Betragsstriche ist das erlaubt.
Und jetzt solltest du auf der linken Seite etwas wiedererkennen ...
Sonst geht es nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
ok gut, dass ich das jetzt weiß *rotwerd*
naja der grenzwert der linken seite für h [mm] \to [/mm] 0 ist die erste ableitung von f oder?
aber so genau weiß ich immernoch nicht, wieso dann f eine konstante ist. tut mir leid, dass ich mich so doof anstelle...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
also frage: wieso kann ich daraus schließen, dass f eine konstante ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 So 20.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
anhand der obigen Rechnung von Leopold erkennt man, dass FÜR JEDEN (festen) Punkt [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] die Ableitung existiert (d.h. $f$ ist differenzierbar auf [mm] $\IR$) [/mm] und dass FÜR JEDES [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $f'(x_0)=0$.
[/mm]
D.h.:
Die obige Funktion ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar und es gilt $f'(x) [mm] \equiv [/mm] 0$. Weil [mm] $\IR$ [/mm] zusammenhängend ist, ist damit $f$ konstant auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Falls Du diesen letzten Satz noch nicht kennst oder ihn nicht einsiehst:
Wir können das hier auch explizit beweisen:
Wie bereits gesehen ist $f$ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar und es gilt $f'(x) [mm] \equiv [/mm] 0$, d.h. $f'(x)=0$ für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm]
Angenommen, es wäre $f$ nicht konstant. Dann gibt es $x < y$, $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit $f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)$, d.h. $|f(y)-f(x)| > 0$. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein [mm] $\xi$ [/mm] mit $x < [mm] \xi [/mm] < y$ und [mm] $f'(\xi)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$.
[/mm]
Dann folgt aber
[mm] $|f'(\xi)|=\vmat{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}} [/mm] > 0$, also [mm] $|f'(\xi)| [/mm] > 0$ und damit insbesondere [mm] $f'(\xi) \not=0$. [/mm] Dann kann aber nicht mehr $f'(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ gelten (denn das letzte heißt, dass für alle $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ gilt, dass $f'(x)=0$, also müsste das insbesondere auch für [mm] $x=\xi$ [/mm] gelten). Widerspruch.
Gruß,
Marcel
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