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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] l^{\infty} [/mm] die Menge der beschraenkten Zahlenfolgen [mm] x=(x_{n}) n\in\IN. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] (l^{\infty},|| *||_{\infty}) [/mm] mit
[mm] ||x||_{\infty}:=sup|x_{n}|, (x\in l^{\infty})
[/mm]
ein normierter Raum ist. |
hallo leute,
ich tu mich immer bissel schwer mit beweisen, habe es aber versucht und wuerde gern wissen ob das so schluessig ist.
ok, beschraenkte zahlenfolge heisst ja es existiert eine obere und untere schranke, [mm] sup|x_{n}|= [/mm] obere schranke=:M
ok nun muss ich ja die normeigenschaften nachweisen.
zu zeigen:
1) [mm] ||\alpha*x||_{\infty}=|\alpha|*||x||_{\infty}
[/mm]
[mm] ||\alpha*x||_{\infty}=sup|\alpha*x_{n}|, [/mm] da [mm] \alpha [/mm] konstant und [mm] sup|x_{n}|=M
[/mm]
[mm] =|\alpha|*M=|\alpha|*||x||_{\infty}
[/mm]
2) [mm] ||x+y||_{\infty}\le||x||_{\infty}+||y||_{\infty}
[/mm]
Sei x,y [mm] \in l^{\infty}
[/mm]
[mm] ||x||_{\infty}=sup|x_{n}|=M, ||y||_{\infty}=sup|y_{n}|=K
[/mm]
[mm] ||x+y||_{\infty}=sup|x_{n}+y_{n}|=|M+K|\le|M|+|K|=||x||_{\infty}+||y||_{\infty}
[/mm]
3) [mm] ||x||_{\infty}=0 \gdw [/mm] x=0
bei dem punkt hab ich ein wenig schwierigkeiten.
[mm] ||x||_{\infty}=sup|x_{n}|=M=0
[/mm]
das bedeutet ja, dass die obere schranke meiner zahlenfolge 0 ist, aber das ist doch an sich nicht eindeutig, da es sicherliche ne menge zahlenfolgen gibt auf die das zutrifft. aber ich soll ja zeigen, dass [mm] ||x||_{\infty} [/mm] genau dann 0 ist, wenn [mm] x=x_{n}=0, [/mm] also meine zahlenfolge 0 ist, aber das bedeutet doch wiederum, dass alle glieder 0 sind oder? oder anders gefragt. muss diese bedingung fuer [mm] x_{n}=0 [/mm] zutreffen oder darf sie NUR fuer [mm] x_{n}=0 [/mm] zutreffen??
ok waere echt super wenn ihr mir helfen koenntet.
LG Jany :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Sa 13.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Jany,
> Es bezeichne [mm]l^{\infty}[/mm] die Menge der beschraenkten
> Zahlenfolgen [mm]x=(x_{n}) n\in\IN.[/mm] Zeigen Sie, dass
> [mm](l^{\infty},|| *||_{\infty})[/mm] mit
> [mm]||x||_{\infty}:=sup|x_{n}|, (x\in l^{\infty})[/mm]
> ein
> normierter Raum ist.
> hallo leute,
>
> ich tu mich immer bissel schwer mit beweisen, habe es aber
> versucht und wuerde gern wissen ob das so schluessig ist.
> ok, beschraenkte zahlenfolge heisst ja es existiert eine
> obere und untere schranke, [mm]sup|x_{n}|=[/mm] obere schranke=:M
>
> ok nun muss ich ja die normeigenschaften nachweisen.
>
> zu zeigen:
> 1) [mm]||\alpha*x||_{\infty}=|\alpha|*||x||_{\infty}[/mm]
>
> [mm]||\alpha*x||_{\infty}=sup|\alpha*x_{n}|,[/mm] da [mm]\alpha[/mm] konstant
> und [mm]sup|x_{n}|=M[/mm]
> [mm]=|\alpha|*M=|\alpha|*||x||_{\infty}[/mm]
>
Müsste passen!
> 2) [mm]||x+y||_{\infty}\le||x||_{\infty}+||y||_{\infty}[/mm]
>
> Sei x,y [mm]\in l^{\infty}[/mm]
> [mm]||x||_{\infty}=sup|x_{n}|=M, ||y||_{\infty}=sup|y_{n}|=K[/mm]
>
> [mm]||x+y||_{\infty}=sup|x_{n}+y_{n}|=|M+K|\le|M|+|K|=||x||_{\infty}+||y||_{\infty}[/mm]
>
Das zweite Gleichheitszeichen stimmt so sicher nicht! z.B.
[mm] x_n=-1, y_n=+1, [/mm] d.h. M = K = 1
dann ist
[mm]\sup|x_n + y_n| = \sup 0 = 0 \not= 2 = |M+K|[/mm]
Besser wäre m.E. erst den Betrag aufzuteilen und dann das Supremum:
[mm]\sup|x_n + y_n| \le \sup(|x_n|+|y_n|) \le \sup|x_n| + \sup|y_n|[/mm]
> 3) [mm]||x||_{\infty}=0 \gdw[/mm] x=0
>
> bei dem punkt hab ich ein wenig schwierigkeiten.
> [mm]||x||_{\infty}=sup|x_{n}|=M=0[/mm]
>
> das bedeutet ja, dass die obere schranke meiner zahlenfolge
> 0 ist, aber das ist doch an sich nicht eindeutig, da es
> sicherliche ne menge zahlenfolgen gibt auf die das
> zutrifft. aber ich soll ja zeigen, dass [mm]||x||_{\infty}[/mm]
> genau dann 0 ist, wenn [mm]x=x_{n}=0,[/mm] also meine zahlenfolge 0
> ist, aber das bedeutet doch wiederum, dass alle glieder 0
> sind oder? oder anders gefragt. muss diese bedingung fuer
> [mm]x_{n}=0[/mm] zutreffen oder darf sie NUR fuer [mm]x_{n}=0[/mm]
> zutreffen??
>
Denk dran, dass Du [mm] \sup|x_n| [/mm] betrachtest, d.h. Du bildest das Supremum über eine olge, die nur aus Gliedern [mm] \ge [/mm] 0 besteht. Wann kann in diesem Fall das Supremum = 0 sein?
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hi, vielen dank das hat mir sehr geholfen.
hatte das mit den positiven gliedern nicht bedacht. das supremum kann in dem fall dann natuerlich nur dann 0 sein, wenn alle folgenglieder null sind. also [mm] x_{n}=0. [/mm] :)
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