beweis lin. unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | seien V,W [mm] \IK [/mm] Vektorräume und f: V - > W linear, zeigen sie:
a) sind v1,...,vr [mm] \in [/mm] V lin. unabh. und ist f injektiv, so sind auch f(v1),...,f(vr) [mm] \in [/mm] W lin. unabh.
b) sind v1,...,vr [mm] \in [/mm] V lin. abh., so sind auch f(v1),...,f(vr) [mm] \in [/mm] W lin. abh. |
was ich bis jetzt habe (zu a))
(v1,...vr) [mm] \in [/mm] V lin. unabh.
=> [mm] \lambda1v1 +....+\lambdarvr=0 [/mm] mit [mm] \lambda \in \IK
[/mm]
(v1,...vr) [mm] \in [/mm] V und f (v1) = f(vr) => v1=vr
=> f(v1),...,f(vr) [mm] \in [/mm] V lin unabh.
ich weiss nicht, wie ich zu W komme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> seien V,W [mm]\IK[/mm] Vektorräume und f: V - > W linear, zeigen
> sie:
> a) sind v1,...,vr [mm]\in[/mm] V lin. unabh. und ist f injektiv, so
> sind auch f(v1),...,f(vr) [mm]\in[/mm] W lin. unabh.
> b) sind v1,...,vr [mm]\in[/mm] V lin. abh., so sind auch
> f(v1),...,f(vr) [mm]\in[/mm] W lin. abh.
> was ich bis jetzt habe (zu a))
>
> (v1,...vr) [mm]\in[/mm] V lin. unabh.
> => [mm]\lambda1v1 +....+\lambdarvr=0[/mm] mit [mm]\lambda \in \IK[/mm]
>
> (v1,...vr) [mm]\in[/mm] V und f (v1) = f(vr) => v1=vr
> => f(v1),...,f(vr) [mm]\in[/mm] V lin unabh.
> ich weiss nicht, wie ich zu W komme
Mein Gott, das ist ja so was von chaotisch ! ich kann Dir jedenfalls nicht folgen !
Du sollst zeigen: [mm] f(v_1), [/mm] ...., [mm] f(v_r) [/mm] sind linear unabhängig.
Ablaufplan:
Dazu seien [mm] s_1, [/mm] .., [mm] s_n \in \IK [/mm] und [mm] 0=s_1f(v_1)+ ...+s_rf(v_r)
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] s_1=...=s_r=0
[/mm]
Ablaufplan:
Gehe aus von [mm] 0=s_1f(v_1)+ ...+s_rf(v_r), [/mm] nutze die Linearität von f, dann die Injektivität von f und dann die Vor., dass [mm] v_1, ...,v_r [/mm] lin unabhängig sind.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
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> Du sollst zeigen: [mm]f(v_1),[/mm] ...., [mm]f(v_r)[/mm] sind linear
> unabhängig.
>
> Ablaufplan:
>
> Dazu seien [mm]s_1,[/mm] .., [mm]s_n \in \IK[/mm] und [mm]0=s_1f(v_1)+ ...+s_rf(v_r)[/mm]
>
> Zu zeigen ist: [mm]s_1=...=s_r=0[/mm]
v=s1v1+...+srvr
v= t1v1+....+trvr
0=v-v=(s1-t1)v1+...+(sr-tr)vr
=> sr-tr=0
wegen 0=0v1+...+0vr
=> 0=s1v1+...+srvr=>s=0
> Ablaufplan:
>
> Gehe aus von [mm]0=s_1f(v_1)+ ...+s_rf(v_r),[/mm] nutze die
> Linearität von f, dann die Injektivität von f und dann
> die Vor., dass [mm]v_1, ...,v_r[/mm] lin unabhängig sind
[mm] 0=s_1f(v_1)+ ...+s_rf(v_r) [/mm] = [mm] f(s_1v_1) +...+f(s_rv_r) [/mm] = [mm] s_1v_1 +...+s_rv_r [/mm] = [mm] 0v_1+..+0v_r=0
[/mm]
wie machen ich das aber mit der injektivität?
> FRED
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> >
> > Du sollst zeigen: [mm]f(v_1),[/mm] ...., [mm]f(v_r)[/mm] sind linear
> > unabhängig.
> >
> > Ablaufplan:
> >
> > Dazu seien [mm]s_1,[/mm] .., [mm]s_n \in \IK[/mm] und [mm]0=s_1f(v_1)+ ...+s_rf(v_r)[/mm]
>
> >
> > Zu zeigen ist: [mm]s_1=...=s_r=0[/mm]
> v=s1v1+...+srvr
> v= t1v1+....+trvr
> 0=v-v=(s1-t1)v1+...+(sr-tr)vr
> => sr-tr=0
> wegen 0=0v1+...+0vr
> => 0=s1v1+...+srvr=>s=0
Hallo,
bitte mach' Dir in Zunkunft die Mühe, Indizes zu setzen. (Eingabehilfen findest Du unter dem Eingabefenster.)
So wie jetzt ist es für den Leser unnötig unkomfortabel.
Nun zu den Inhalten:
was machst Du da oben, und weshalb tust Du das?
Ein paar erläuternde Worte wären nicht schlecht, denn sie würden uns die Chance geben, etwaige Mißverständnisse aufzuklären. So ist das kaum möglich.
Du mußt Dir bei jeder zu beweisenden Aussage klarmachen, was die Voraussetzung ist, und was man beweisen soll.
Voraussetzung: [mm] (v_1,...,v_r) [/mm] ist linear unabhängig und die lineare Abbildung f ist injektiv.
Behauptung: Dann sind auch die Bildvektoren [mm] (f(v_1),...,f(v_r)) [/mm] linear unabhängig.
Schauen wir vor dem Beginn des Beweises noch einmal genauer auf die Voraussetzung.
Offenbar weißt Du nicht, was lineare Unabhängigkeit ist.
[mm] "(v_1,...,v_r) [/mm] ist linear unabhängig" bedeutet dies:
sofern es [mm] \lambda_i\in [/mm] K gibt mit [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r=0, [/mm] so folgt [mm] \lambda_1=...=\lambda_r=0.
[/mm]
Nochmal langsam zum Mitschreiben: dies ist die Voraussetzung. Zu beweisen gibt es hier nichts.
Eine weitere Voraussetzung ist die Injektivität der linearen Abbildung f,
Deinem Eingangspost nach, hast Du u.U. verstanden, was "injektiv" bedeutet.
Du solltest trotzdem mal herausfinden, was bei linearen Funktionen die Injektivität mit dem Kern zu tun hat - man kann die entsprechende Aussage oftmals gut gebrauchen.
Soviel zu den Voraussetzungen.
Zeigen sollst Du nun also, daß [mm] (f(v_1), ...,f(v_r)) [/mm] linear unabhängig ist.
Fred hat Dir schon gesagt, was hierfür zu tun ist:
Du mußt zeigen, daß aus [mm] s_1f(v_1)+...+s_rf(v_r)=0_W [/mm] folgt, daß
[mm] s_1=...=s_r=0.
[/mm]
Du beginnst ja auch ganz sinnvoll mit Deinem
Beweis:
Es seinen [mm] s_1,...,s_r \in [/mm] K mit
> [mm]0=s_1f(v_1)+ ...+s_rf(v_r)[/mm] = [mm]f(s_1v_1) +...+f(s_rv_r)[/mm] =
Bis hierher wirklich nett!
Aber was ist denn das da:
> = [mm]s_1v_1 +...+s_rv_r[/mm]
Wie muß es richtig heißen? Nutze erneut die Linearität v. f.
Bedenke als nächstes, daß [mm] 0_W= f(0_V).
[/mm]
Was erfährst Du aus [mm] f(0_V)= [/mm] f(...) ?
Wenn Du das hast, kommt die Voraussetzung ins Spiel.
Bitte kommentiere Deinen nächsten Lösungsversuch ein wenig, damit man weiß, was Du Dir denkst.
Begründe jede Umformung - so kannst Du schon ein wenig sicherer sein, daß es stimmt, was Du tust.
Gruß v. Angela
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