beweis: keine lösung in Z < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Fr 27.04.2007 | | Autor: | anapolis |
| Aufgabe | | man zeige, dass die gleichungen a) [mm] 7x^3+2=y^3 [/mm] und [mm] b)x^2+y^2=3z^2 [/mm] keine ganzzahlige lösungen besitzen |
ich brauche dringend eine idee. überleg schon ziemlich lange und komm einfach nicht drauf. kann mir irgendjemand helfen?? bitte!!!!!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Am einfachsten rechnest du mit Restklassen, bei a) mod 7 und bei b) mod 3 (die Faktoren vor den Vielfachen). Das muss nicht funktionieren, hier kann man nur herumprobieren.
$ [mm] 7x^3+2=y^3 [/mm] $
Rechnest du mod 7, gilt:
$ [mm] 0+2\equiv y^3 [/mm] $
$ [mm] 2\equiv y^3 [/mm] $
Nun gibt es für y die Restklassen 0,1,2,3,4,5 und 6.
Damit erhältst du für [mm] y^3 [/mm] der Reihe nach die Restklassen
0,1, [mm] 8\equiv 1,27\equiv 6,64\equiv 1,125\equiv [/mm] 6 und [mm] 216\equiv [/mm] 6. Keine ist [mm] \equiv [/mm] 2, also ist die Gleichung nicht ganzzahlig lösbar.
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$ [mm] b)x^2+y^2=3z^2 [/mm] $
Rechnest du mod 3, gilt:
[mm] x^2+y^2\equiv [/mm] 0
Für die Restklassen 0, 1 und 2 erhältst du für [mm] x^2 [/mm] der Reihe nach 0, 1 und [mm] 4\equiv [/mm] 1, also nur 0 oder 1. Da aber die Summe aus [mm] x^2+y^2\equiv [/mm] 0 sein muss und weder 1+0 noch 0+1 noch 1+1 [mm] \equiv [/mm] 0 sind, geht dies nur mit 0+0.
Also sind x und y beide [mm] \equiv [/mm] 0 und damit Vielfache von 3.
Somit lassen sich x=3a und y=3b schreiben, a,b ganzzahlig.
Demnach ist [mm] x^2+y^2=9a^2+9b^2=3z^2 [/mm] und daher
[mm] 3a^2+3b^2=z^3. [/mm] Damit gilt aber, dass [mm] z^2 [/mm] Vielfaches von 3 ist, und da 3 eine Primzahl ist, muss z selber Vielfaches von 3 sein, also z=3c. Damit wird nun aber [mm] z^2=9c^2 [/mm] und deshalb [mm] 3a^2+3b^2=9c^3, [/mm] also [mm] a^2+b^2=3c^2.
[/mm]
Wir haben nun wieder die selbe Beziehung zwischen a, b und c, die wir vorher zwischen x, y und z hatten. Wegen der obigen Zerlegung sind a, b und c jeweils kleiner als x, y und z. Wendet man die obige Argumentation nun wieder auf a, b und c an, kann man aus a, b und c wieder eine 3 herauskürzen, erhält wieder eine entsprechende Beziehung usw. . Die Überlegungen zeigen also: Wenn es einen Lösungsdrilling gibt, kann man seine Komponenten durch 3 dividieren und erhält einen neuen Lösungsdrilling usw. Da man ganze Zahlen aber nicht endlos durch 3 auf neue ganze Zahlen "kürzen" kann, kann diese Situation nicht vorliegen. Als Begründung kommt nur in Frage, dass es keine solche gesuchte Lösung geben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 So 29.04.2007 | | Autor: | anapolis |
Super! vielen Dank. Jetzt hab ich das endlich kapiert! Total gut erklärt!!!!!
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