beweis einer "Kern"- gleichung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es sei S ein körper mit 1+1 [mm] \not= [/mm] 0 und V ein endlich-dimensionales VR über S. Des weiteren sei f : V->V eine lin. Abbildung mit f [mm] \circ [/mm] f = id-
Man zeige: V = ker(f-id) [mm] \oplus [/mm] ker ( f+id)
Hinweis: zeige zuerst: ker((f-id) [mm] \circ [/mm] (f-id)) =V |
Hallo!
Also ich habe erst versucht etwas mit dem Hinweis anzufangen.
Wenn ich sozusagen ausmultipliziere hab ich ja dann dastehen:
ker( f [mm] \circ [/mm] f - (id [mm] \circ [/mm] id)) =V
f [mm] \circ [/mm] f ist ja id
und id [mm] \circ [/mm] id =id
dann hätt ich id-id = 0
Also ker (0 ) = V
Ist das richtig?
Wenn ja, was kann ich damit denn nun anfangen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Es gibt einen sehr wichtigen Satz in der linearen Algebra, der folgendes besagt:
sind [mm] $g,h\in\IK[x]$ [/mm] teilerfremde Polynome, so gilt für jeden Vektorraumendomorphismus f [mm] $$\ker(gh(f))=\ker(g(f))\oplus\ker(h(f))$$
[/mm]
In deinem Beispiel ist $g(x)=x-1, h(x)=x+1$ (d.h. [mm] $g(f)=f-id_V$) [/mm] und somit [mm] $gh(f)=(x^2-1)(f)=f^2-id_V=0$, [/mm] also [mm] $\ker(gh(f))=V$ [/mm] - das hattest du im Grunde auch schon ausgerechnet.
Einen sehr schönen und kurzen Beweis findest du z.B. in "Lineare Algebra und Analytische Geometrie" von Theodor Bröcker (Birkhäuser Verlag) auf Seite 99f.
Alternativ habe ich ihn auch schonmal ![[]](/images/popup.gif) hier gesehen, allerdings unglaublich unverständlich und hässlich. Schau auf jeden Fall mal in den Bröcker, falls du da irgendwie rankommst.
Ich hoffe das hilft dir wenigstens ein bischen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 09.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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