beweis binomialreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mi 10.12.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | | zeige durch induktion nach k: für alle k [mm] \in \IN [/mm] und |x|<1 ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n =\bruch{1}{(1-x)^k}. [/mm] |
hallo
wenn ich im IA k=1 setze erhalte ich links [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] und rechts steht [mm] \bruch{1}{(1-x)^1}, [/mm] oder??
woran sehe ich nun, dass das gleich ist und der IA folglich stimmt??
was sollte ich mir allgemein noch für den beweis überlegen? benötige ich die defniniton der binomialreihe etc??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mi 10.12.2008 | | Autor: | luis52 |
?
> woran sehe ich nun, dass das gleich ist und der IA
> folglich stimmt??
Moin,
hast du schon einmal etwas von der geometrischen Reihe gehoert?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 10.12.2008 | | Autor: | jura |
ja, geht klar!!
und im IS, kann ich so umformen??:
[mm] \summe \vektor{n+k\\ k}x^n= \summe \vektor{n+k-1\\ k-1}x^n x^n=...
[/mm]
dann kann ich nämlich die IV und die erkenntnis des IA anwenden und erhalte das gewünschte ergebnis. kann obige umformung nur nicht ganz begründen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mi 10.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> kann obige
> umformung nur nicht ganz begründen...
Ich auch nicht, denn sie ist falsch. Vielleicht hilft ja die alte Bauernregel weiter:
[mm] \binom{a+1}{b}=\binom{a}{b}+\binom{a}{b-1}
[/mm]
vg Luis
PS: Habe noch eine schlechte Nachricht. So wie ich die Aufgabe verstehe,
musst du auch noch zeigen, dass die Reihe ueberhaupt konvergent ist
fuer |x|<1 ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:35 Do 11.12.2008 | | Autor: | jura |
gerade damit bin ich mir eben nicht sicher, wie wende ich das denn hier an?? ich kann doch nicht schreiben: [mm] \summe (\vektor{n\\ k}+\vektor{n\\ k-k})x^n
[/mm]
oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Do 11.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin jura,
klaeren wir mal, wo wir stehen. Die Aufgabe lautet:
Zeige durch Induktion nach k: Für alle k $ [mm] \in \IN [/mm] $ und $|x|<1$ ist
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n =\bruch{1}{(1-x)^k}. [/mm] $
M.E. Erachtens musst du zeigen:
1) Die Potenzreihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n [/mm] $ konvergiert fuer alle $|x|<1$.
2) [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n =\bruch{1}{(1-x)^k}$ [/mm] fuer alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] und $|x|<1$.
Was haben wir?
1) Fehlt noch ...
2)
Induktionsanfang ist klar, die Formel gilt fuer k=1.
Induktionsvoraussetzung: Die Formel gilt fuer [mm] k\in\IN, [/mm] d.h.
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n =\bruch{1}{(1-x)^k}$
[/mm]
fuer $|x|<1$.
Induktionsbehauptung: Die Formel gilt fuer k+1, d.h.
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k \\ k}x^n =\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}$
[/mm]
fuer $|x|<1$.
Nach der obigen Regel ist
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}x^n=\summe_{n=0}^{\infty}\left[\binom{n+k-1}{k}+\binom{n+k-1}{k-1}\right]x^n=...$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 11.12.2008 | | Autor: | jura |
> Nach der obigen Regel ist
[mm][mm] \summe_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}x^n=\summe_{n=0}^{\infty}\left[\binom{n+k-1}{k}+\binom{n+k-1}{k-1}\right]x^n=\summe_{n=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k}x^n+\summe_{n=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k-1}x^n
[/mm]
so, auf den rechten summanden kann ich dann schön die IV anwenden, aber was mache ich mit dem linken???
>
> vg Luis
gruß zurück
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 11.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> > Nach der obigen Regel ist
>
> [mm][mm]\summe_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}x^n=\summe_{n=0}^{\infty}\left[\binom{n+k-1}{k}+\binom{n+k-1}{k-1}\right]x^n=\summe_{n=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k}x^n+\summe_{n=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k-1}x^n[/mm]
> so, auf den rechten summanden kann ich dann schön die IV anwenden, > aber was mache ich mit dem linken???
So, du willst es also wissen?
[mm] \begin{matrix}
\sum\limits\limits_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}x^n
&=&\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}x^n \\
&=&x\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}x^{n-1} \\
&=&x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k}{k}x^{n}
\end{matrix}
[/mm]
Klingelt's?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Do 11.12.2008 | | Autor: | jura |
äh, ne, die is wohl eingefroren!
wieso kann man im letzten schritt die -1 jeweils weglassen?
und der ausdruck springt mich dann leider immer noch nicht an! soll ich für die rechte seite bereits die IV anwenden oder bessser erst beide summanden zusammenfassen? und wie?
gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Do 11.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> wieso kann man im letzten schritt die -1 jeweils
> weglassen?
Schau dir doch einmal die ersten drei Summanden in beiden Summen an. Du
wirst sehen, sie stimmen ueberein. Beachte, dass die Summe in der
vorletzten Zeile bei 1, die in der letzten Zeile bei 0 beginnt...
> und der ausdruck springt mich dann leider immer noch nicht
> an! soll ich für die rechte seite bereits die IV anwenden
> oder bessser erst beide summanden zusammenfassen? und wie?
>
Es ist also nach Induktionsvoraussetzung:
[mm] \begin{matrix}\summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k}{k}x^n &=&\summe_{n=0}^{\infty}\left[\dbinom{n+k-1}{k}+\dbinom{n+k-1}{k-1}\right]x^n\\&=&\summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}x^n+\summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k-1}x^n\\&=&x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k}{k}x^{n}+\dfrac{1}{(1-x)^k}\end{matrix}
[/mm]
Deutlicher geht's nimmer!
Aber beachte meine Mahnung: Du musst noch nachweisen, dass die Reihe
konvergiert.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 12.12.2008 | | Autor: | jura |
>
> Schau dir doch einmal die ersten drei Summanden in beiden
> Summen an. Du
> wirst sehen, sie stimmen ueberein. Beachte, dass die Summe
> in der
> vorletzten Zeile bei 1, die in der letzten Zeile bei 0
> beginnt...
jaja, is klar, wär nur selber nicht draufgekommen..
>
>
>
> > und der ausdruck springt mich dann leider immer noch nicht
> > an! soll ich für die rechte seite bereits die IV anwenden
> > oder bessser erst beide summanden zusammenfassen? und wie?
> >
>
> Es ist also nach Induktionsvoraussetzung:
>
> [mm]\begin{matrix}\summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k}{k}x^n &=&\summe_{n=0}^{\infty}\left[\dbinom{n+k-1}{k}+\dbinom{n+k-1}{k-1}\right]x^n\\&=&\summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}x^n+\summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k-1}x^n\\&=&x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k}{k}x^{n}+\dfrac{1}{(1-x)^k}\end{matrix}[/mm]
>
> Deutlicher geht's nimmer!
der 1.summand entspricht x-mal unserem ausgangsausdruck--ist es das, was ich sehen "soll"? damit weiß ich, dass ich die IV jeweils wieder x-mal anwenden kann, erhalte damit dann
[mm] x\summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}x^n+ \bruch {x+1}{(1-x)^k}
[/mm]
aber da weiß ich doch dann für den ersten ausdruck wieder nicht weiter!!
>
> Aber beachte meine Mahnung: Du musst noch nachweisen, dass
> die Reihe
> konvergiert.
ich weiß
> vg Luis
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Fr 12.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> der 1.summand entspricht x-mal unserem
> ausgangsausdruck--ist es das, was ich sehen "soll"? damit
> weiß ich, dass ich die IV jeweils wieder x-mal anwenden
> kann, erhalte damit dann
> [mm]x\summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}x^n+ \bruch {x+1}{(1-x)^k}[/mm]
>
> aber da weiß ich doch dann für den ersten ausdruck wieder
> nicht weiter!!
Setze $A= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}x^n$. [/mm] Die Gleichung lautet:
$A=x [mm] A+\frac{1}{(1-x)^k}\iff A(1-x)=\frac{1}{(1-x)^k} \iff A=\frac{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $
Boah! 
> >
> > Aber beachte meine Mahnung: Du musst noch nachweisen, dass
> > die Reihe
> > konvergiert.
> ich weiß
Brav!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 12.12.2008 | | Autor: | jura |
und zum punkt 1:
da es ja eine potenzreihe ist, versuche ich den kvgradius zu bestimmen mit der quotientenformel:
[mm] lim|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=....lim|\bruch{n+k}{n+1}|=q
[/mm]
stimmt das soweit? nur damit kann ich nichts sagen über die kvg, oder, q müsste idealerweise ja 0 sein!
beim wurzelkriterium weiß ich aber nicht, wie ichs anwenden soll bei dieser summe--was weiß man denn über die n-te wurzel von fakultäten??
gruß und dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Fr 12.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> beim wurzelkriterium weiß ich aber nicht, wie ichs
> anwenden soll bei dieser summe--was weiß man denn über die
> n-te wurzel von fakultäten??
>
>
Betrachte
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n =\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n
[/mm]
Ich beziehe mich auf ![[]](/images/popup.gif) Folie 8.
Es gilt also [mm] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$ [/mm] zu bestimmen. Betrachte
mal den Fall k=3. Dann ist
[mm] a_n=\binom{n+3-1}{3-1}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}
[/mm]
Ich behaupte: [mm] $a_n\to1$ [/mm] fuer [mm] $n\to\infty$. [/mm] Verallgemeinere das Argument fuer beliebiges k.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Sa 13.12.2008 | | Autor: | jura |
[mm] a_n [/mm] kvg gegen 1, woran sieht man das denn? ich sehe vielmehr, dass immer zähler für steigende k immer mehr n hinzukommen, im nenner jedoch nie ein n steht. so etwas geht doch immer gegen unendlich für n--> [mm] \infty [/mm] !?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 13.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> [mm]a_n[/mm] kvg gegen 1, woran sieht man das denn? ich sehe
> vielmehr, dass immer zähler für steigende k immer mehr n
> hinzukommen,
Du musst bedenken, dass [mm] $a_n$ [/mm] fuer *fest vorgegebenes* k betrachtet wird.
> im nenner jedoch nie ein n steht. so etwas
> geht doch immer gegen unendlich für n--> [mm]\infty[/mm] !?
Hast du dir das Beispiel fuer $k=3$ ueberlegt?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 13.12.2008 | | Autor: | jura |
aber es kvg nicht [mm] a_n, [/mm] sondern [mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] gegen 1, oder??!!
daraus folgt dann ein kvg-radius von 1, also muss |x|<1 sein.
und dann ist mir noch etwas wohl nicht so ganz klar: mal betrachtet man beim wurzelkriterium lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}, [/mm] dann mal wieder lim [mm] \wurzel[n]{|a_n|}...beim [/mm] quotientenkriterium steht auch mal lim sup dabei, dann mal wieder lim...das solte man ja nicht einfach so vernachlässigen, ist ja nicht das gleiche! grundsätzlich kvg eine folge doch nur, wenn limsup=liminf=lim, oder? wozu und wann betrachte ich also den lim sup??
tschau und besten dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 13.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> aber es kvg nicht [mm]a_n,[/mm] sondern [mm]\wurzel[n]{a_n}[/mm] gegen 1,
> oder??!!
Da hast du Recht, war etwas schlampig.
> daraus folgt dann ein kvg-radius von 1, also muss |x|<1
> sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und dann ist mir noch etwas wohl nicht so ganz klar: mal
> betrachtet man beim wurzelkriterium lim sup
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|},[/mm] dann mal wieder lim
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}...beim[/mm] quotientenkriterium steht auch mal
> lim sup dabei, dann mal wieder lim...das solte man ja nicht
> einfach so vernachlässigen, ist ja nicht das gleiche!
> grundsätzlich kvg eine folge doch nur, wenn
> limsup=liminf=lim, oder? wozu und wann betrachte ich also
> den lim sup??
>
Mit dem Limes Superior arbeitet man (ich) nicht so gern und ist froh, wenn die Folge konvergiert. Dann stimmt naemlich der LS mit dem Grenzwert ueberein.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 12.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> klaeren wir mal, wo wir stehen. Die Aufgabe lautet:
>
> Zeige durch Induktion nach k: Für alle k [mm]\in \IN[/mm] und [mm]|x|<1[/mm]
> ist
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n =\bruch{1}{(1-x)^k}.[/mm]
>
> M.E. Erachtens musst du zeigen:
>
> 1) Die Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n[/mm]
> konvergiert fuer alle [mm]|x|<1[/mm].
>
> 2) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{n+k-1 \\ k-1}x^n =\bruch{1}{(1-x)^k}[/mm]
> fuer alle [mm]k\in\IN[/mm] und [mm]|x|<1[/mm].
Fuer $k = 1$ ist dies klar mit der geometrischen Reihe.
Die Behauptung fuer allgemeines $k$ folgt durch Ableiten: leitet man beide Seiten der Gleichung fuer ein festes $k$, fuer welches man die Aussage bereits gezeigt hat ab, bekommt man die Gleichung fuer $k + 1$ (nach etwas Umformen). Und da sich der Konvergenzradius durch's Ableiten nicht verkleinert, gilt die Formel ebenfalls fuer alle $|x| < 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Fr 12.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Hi Felix,
sehr clever ![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]") !
vg Luis
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