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Hallo
bei mir haperts noch ziemlich an den Grundlagen und habe mit entsetzen festgestellt, dass ich auch vieles wieder vergessen habe, vor allem was wir in lineare Algebra gemacht haben.
Mir sind einige Stellen an dem Beweis zum Satz 6 aus dem Algebra Buch aus dem Bosch auf Seite 40 unklar. Ich poste das mal
Satz: Für [mm] m\in \IZ_{>0} [/mm] ist äquivalent:
(i) m ist eine Primzahl
[mm] (ii)\IZ/m\IZ [/mm] ist ein Integritätsbereich
(iii) [mm] \IZ/m\IZ [/mm] ist ein Körper
Beweis:
(i) nach (ii): weil m Primzahl, dh insb. m>1, also ist [mm] \IZ/m\IZ [/mm] nicht der Nullring. Seien also [mm] \overline{x},\overline{y}\in \IZ/m\IZ [/mm] mit [mm] \overline{x}* \overline{y}=\overline{0}, [/mm] d.h. [mm] x*y\in m\IZ. [/mm] Es ex. ein k [mm] \in \IZ, [/mm] s.d. xy=mk.
Jetzt die Stelle, die ich nicht richtig verstehe, kann mir dass jemand erklären/erläutern?:
Unter Benutzung der Primfaktorzerlegungen von x und y sieht man, dass m ein Teiler von x oder von y ist. Der Rest ist wieder ok der Richtung, dass sich dann [mm] x\in m\IZ [/mm] oder [mm] y\in m\IZ [/mm] ergibt und (ii) damit gezeigt ist.
etwas problematischer ist
(ii) nach (iii): für jedes [mm] \overline{a}\not=\overline{0}\in \IZ/m\IZ [/mm] wird die Abbildung [mm] \IZ/m\IZ->\IZ/m\IZ [/mm] mit [mm] \overline{x}\mapsto \overline{a}*\overline{x} [/mm] betrachtet und gezeigt, dass diese bijektiv ist. Mein Problem: Ich verstehe nicht, wieso daraus (iii) folgt. Weil was man aus der Bijetivität bekommt, und ich versehe auch wieso, ist dass
[mm] \overline{a} [/mm] ein multiplikatives Inverses hat. Und wieso reichte das nur noch aus, dass man beh (iii) bekommt?
Ok, ich weiss, dass [mm] (\IZ/m\IZ,+,*) [/mm] für m>1 ein kommutativer Ring mit 1 ist, d.h. von den Axiomen her fehlt nurnoch, dass für jedes Element ein mult. Inverses existiert. Aber unsere Abbildung ist doch nur ein Gruppenhomomorphismus und kein Ringhomom., oder ist das nicht schlimm?
Von (iii) nach (i) ist mir klar.
Wäre über Hilfe sehr dankbar. Lg
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moin,
> (i) nach (ii): weil m Primzahl, dh insb. m>1, also ist
> [mm]\IZ/m\IZ[/mm] nicht der Nullring. Seien also
> [mm]\overline{x},\overline{y}\in \IZ/m\IZ[/mm] mit [mm]\overline{x}* \overline{y}=\overline{0},[/mm]
> d.h. [mm]x*y\in m\IZ.[/mm] Es ex. ein k [mm]\in \IZ,[/mm] s.d. xy=mk.
> Jetzt die Stelle, die ich nicht richtig verstehe, kann mir
> dass jemand erklären/erläutern?:
> Unter Benutzung der Primfaktorzerlegungen von x und y
> sieht man, dass m ein Teiler von x oder von y ist. Der Rest
> ist wieder ok der Richtung, dass sich dann [mm]x\in m\IZ[/mm] oder
> [mm]y\in m\IZ[/mm] ergibt und (ii) damit gezeigt ist.
Kennst du die Definition eines Primelements?
"Sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Element $p [mm] \in [/mm] R$ heißt prim, falls $p$ keine Einheit ist und wenn aus $p [mm] \mid [/mm] xy$ sofort $p [mm] \mid [/mm] x$ oder $p [mm] \mid [/mm] y$ für alle $x,y [mm] \in [/mm] R$ folgt."
Das heißt also: Teilt $p$ ein Produkt, so muss $p$ bereits einen der Faktoren teilen.
Weißt du schon, dass die primen Elemente (nach dieser Definition) in [mm] $\IZ$ [/mm] gerade die klassischen Primzahlen sind?
Wenn nein gilt es gerade dies zu zeigen.
Nimm also an dein $m$ teile ein Produkt, in diesem Fall also $x*y$.
Schreibe dir die Primfaktorzerlegung von $x$ hin und die von $y$ und argumentiere, wieso das $m$ (als Primzahl) in mindestens einer der beiden Zerlegungen auftreten muss; also wieso $m$ ein Teiler von $x$ oder einer von $y$ sein muss.
Dazu kannst du dir überlegen:
Tritt $m$ weder in der Primfaktorzerlegung von $x$ noch in der von $y$ auf, so muss es (da $m$ ein Teiler von $x*y$ ist) einen Teiler $p$ von $x$ und einen Teiler $q$ von $y$ geben, sodass $m$ ein Teiler von $p*q$ ist.
Kannst du daraus $p=m$ oder $q=m$ folgern?
> etwas problematischer ist
> (ii) nach (iii): für jedes
> [mm]\overline{a}\not=\overline{0}\in \IZ/m\IZ[/mm] wird die
> Abbildung [mm]\IZ/m\IZ->\IZ/m\IZ[/mm] mit [mm]\overline{x}\mapsto \overline{a}*\overline{x}[/mm]
> betrachtet und gezeigt, dass diese bijektiv ist. Mein
> Problem: Ich verstehe nicht, wieso daraus (iii) folgt. Weil
> was man aus der Bijetivität bekommt, und ich versehe auch
> wieso, ist dass
> [mm]\overline{a}[/mm] ein multiplikatives Inverses hat. Und wieso
> reichte das nur noch aus, dass man beh (iii) bekommt?
> Ok, ich weiss, dass [mm](\IZ/m\IZ,+,*)[/mm] für m>1 ein
> kommutativer Ring mit 1 ist, d.h. von den Axiomen her fehlt
> nurnoch, dass für jedes Element ein mult. Inverses
> existiert. Aber unsere Abbildung ist doch nur ein
> Gruppenhomomorphismus und kein Ringhomom., oder ist das
> nicht schlimm?
Die Struktur der Abbildung ist hier vollkommen egal.
Es geht einfach darum, dass sie bijektiv ist, sie muss kein Homomorphismus oder ähnliches sein.
Allein durch die Bijektivität kriegst du die Existenz des multiplikativ Inversen; was ja wie du richtig festgestellt hast das einzige ist was fehlt.
Sollte im Beweis für die Bijektivität ein Homomorphieargument verwendet werden, das dir Sorgen bereitet, kannst du das natürlich gern mal posten.
lg
Schadow
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hey, vielen Dank für deine super Antwort!!
Im Beweis der Bijektivität wird kein Homomorphieargument verwendet. Aber irgentwie war ich mir trotzdem unsicher, aber danke jetzt ist's ok :).
Und zu dem anderen Punkt:
Danke, danke!! Die Definition tauchte mal beiläufig in einem Proseminar auf, aber nicht in La1 und 2 und hätte das jetzt nicht bemerkt, dass es deswegen ist. Der Beweis aus der Vorlesung war ein Kuddelmuddel deshalb habe ich nach einem alternativen Beweis geschaut und den im Bosch gefunden.
m=p oder m=q kann nicht sein, sonst tritt m doch in der Primfaktorzerlegung von x oder wenn nicht dann in der von y auf und es wurde gesagt, dass m in keiner der beiden Primfaktorzerlegungen auftauchen soll. Und damit hätte man es dann auch. Ich hoffe, ich habe es richtig verstanden? Lg
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Jo, sieht soweit gut aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Cool, danke dir! Dann ist alles klar.
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