beweis [0,1] < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mi 07.12.2005 | | Autor: | bjarne |
Guten Abend,
ich soll folgendes beweisen:
"Beweisen sie, dass sich jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] in der Form x= [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} \bruch{c_k}{k!} [/mm] darstellen lässt, mit [mm] c_k \in \IN [/mm] und 0 [mm] \le c_k \le [/mm] k-1 für alle k [mm] \ge [/mm] 2."
Meine Idee hierfür ist, dass x [mm] \in [/mm] [0,1] liegt und das Intervall somit beschränkt ist. Also nach oben mit 1 und nach unten mit 0. Nun muss ich also zeigen, dass ich dies auch anders darstellen kann. Finde aber keinen Ansatzpunkt. Hat dies vielleicht etwas mit einer Cantorreihe zu tun? Bin ziemlich überfordert mit der Aufgabe und über Hilfe überglücklich...
Einen lieben Gruß und vielen Dank für die Aufmerksamkeit.
Bjarne
Ich habe die Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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Bei so etwas würde ich empfehlen, erst einmal ein Beispiel zu machen, um ein Gefühl für die Sache zu bekommen. Dann aus dem Beispiel heraus das Verfahren abstrahieren, beschreiben und beweisen. Ich habe einmal [mm]x = \sqrt{\frac{1}{2}}[/mm] genommen:
[mm]\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{0}{4!} + \frac{4}{5!} + \frac{5}{6!} + \frac{0}{7!} + \frac{6}{8!} + \frac{4}{9!} + \frac{9}{10!} + \frac{0}{11!} + \frac{11}{12!} + \ldots[/mm]
Und wie bin ich vorgegangen?
[mm]k=2[/mm]: [mm]\frac{0}{2!}[/mm] zu klein, [mm]\frac{1}{2!}[/mm] zu klein -> [mm]x = \frac{1}{2!} + \ldots[/mm]
[mm]k=3[/mm]: [mm]\frac{1}{2!} + \frac{0}{3!}[/mm] zu klein, [mm]\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}[/mm] zu klein, [mm]\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!}[/mm] zu groß -> [mm]x = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots[/mm]
[mm]k=4[/mm]: [mm]\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{0}{4!}[/mm] zu klein, [mm]\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}[/mm] zu groß -> [mm]x = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{0}{4!} + \ldots[/mm]
usw.
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