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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mi 17.06.2009 | | Autor: | knuknumo |
| Aufgabe | Der Anteil der weißen Kugeln in einer Urne ist entweder 20% oder 40%. Die Nullhypothese H(0):p=0,2 soll bei einem Stichprobenumfang der Länge n getestet werden.
a) Bei n=20 Ziehungen mit Zurücklegen findet man 7 weiße Kugeln. Kann H(0) mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% abgelehnt werden? Wie groß ist der Fehler 2. Art? Zeichne zwei Stabdiagramme.
b) Durch n=50 Ziehungen mit Zurücklegen soll entschieden werden, welcher Fall vorliegt. Der Ablehningsbereich für die Nullhypothese sei {g;g 1;...50}. Berechne für g=14; 15; 16; 17 die Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen. Bei welchem Ablehnungsbereich ist der Unterschied der Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen am kleinsten?
c) Es werden 100 Ziehungen mit Zurücklegen durchgeführt. Für welchen Ablehnungsbereich ist jetzt der Unterschied der Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen am kleinsten? |
ich seh hier leider irgendwie komplett nicht durch. kann mir jemand tipps geben? - ist echt dringend. bin über jede hilfe dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mi 17.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Abend,
es war ein langer Tag und das sind knifflige Fragen;
vielleicht kann ich mit ein Paar Tipps zu a) weiterhelfen.
a) dreht sich um den sogenannten Fehler erster Art,
das ist der Fehler,
der entsteht,
wenn man die sogenannte Nullhypothese zu Unrecht ablehnt,
hier also meint, daß der Anteil der weißen Kugeln größer als 20% ist,
obwohl das Gefäß tatsächlich nur 20% weiße Kugeln
enthält.
20% der Stichprobe wären 4 weiße Kugeln.
Tendenziell werde ich bei s e h r v i e l e n weißen Kugeln,
d.h. deutlich mehr als vier weißen Kugeln in der Stichprobe,
nicht mehr davon ausgehen können, daß die Urne nur 20% weiße Kugeln enthält.
Der Fehler 2.Art ist der Fehler,
die Alternative (hier: 40%) abzulehnen,
obwohl sie zutrifft.
Die Wahrscheinlichkeit,
daß sich 7 oder mehr weiße Kugeln in der Stichprobe finden ist
P({ X >= 7 }) = [mm] \summe_{k=7}^{20} \vektor{20 \\ k}*0.2^k*(1-0.2)^{20-k}
[/mm]
Für den Fehler 2.Art finden wir
P({ X < 7 }) = [mm] \summe_{k=1}^{6} \vektor{20 \\ k}*0.4^k*(1-0.4)^{20-k}
[/mm]
.
Wie gesagt,
es handelt sich um knifflige Fragen.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mi 17.06.2009 | | Autor: | knuknumo |
| Aufgabe | Der Anteil der weißen Kugeln in einer Urne ist entweder 20% oder 40%. Die Nullhypothese H(0):p=0,2 soll bei einem Stichprobenumfang der Länge n getestet werden.
a) Bei n=20 Ziehungen mit Zurücklegen findet man 7 weiße Kugeln. Kann H(0) mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% abgelehnt werden? Wie groß ist der Fehler 2. Art? Zeichne zwei Stabdiagramme.
b) Durch n=50 Ziehungen mit Zurücklegen soll entschieden werden, welcher Fall vorliegt. Der Ablehningsbereich für die Nullhypothese sei {g;g 1;...50}. Berechne für g=14; 15; 16; 17 die Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen. Bei welchem Ablehnungsbereich ist der Unterschied der Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen am kleinsten?
c) Es werden 100 Ziehungen mit Zurücklegen durchgeführt. Für welchen Ablehnungsbereich ist jetzt der Unterschied der Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen am kleinsten? |
zu den anderen aufgaben seh ich leider immernoch nicht durch
kannst du mir bitte noch einige ergebnisse liefern, evtl find ich dann den lösungsweg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Do 18.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
das Stichwort ist (kumulierte) Binomialverteilung;
sie ist tabelliert oder man berechnet die Werte zu Fuß (das ist allerdings mühsam).
g=14 bedeutet, ich lehne die Nullhypothese (20% weiße Kugeln) ab,
wenn ich 14 oder mehr weiße Kugeln in meiner S t i c h p r o b e finde.
Der S t i c h p r o b e n b u m f a n g ist 50;
es wird m i t Zurücklegen gezogen;
für 20% weißer Kugeln reichte übrigens ein Urneinhalt von 5 Kugeln aus,
davon eine weiße.
Wir suchen nun die Wahrscheinlichkeit,
nennen wir sie P(A),
daß in der Stichprobe 14,15,16,...,50 weiße Kugeln sind,
w e n n in der Anteil der weißen Kugeln in der Urne 20% ist.
P(A) = [mm] \summe_{i=14}^{50} \vektor{50 \\ i}*0.2^i*(1-0.2)^{50-i}
[/mm]
Ich erhalte
P(A)=0.11,
d.h. immerhin noch 11% aller Stichproben vom Umfang 50,
die der Urne entnommen werden,
weisen 14 oder mehr weiße Kugeln auf,
wenn der Anteil der weißen Kugeln in der Urne
(nur) 20% beträgt.
Wäre der Anteil der weißen Kugeln in der Urne 40%,
dann wäre die Wahrscheinlichkeit P(B), weniger als 14,
also 1,2,3,...,13 weiße Kugeln zu ziehen,
P(B) = [mm] \summe_{i=1}^{13} \vektor{50 \\ i}*0.4^i*(1-0.4)^{50-i}
[/mm]
Ich erhalte P(B)=0.015, das bedeutet Fehler 2.Art 1.5%.
Das war g=14, fehlt g=15,16 und 17.
Schönen Gruß
Karsten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Do 18.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
wieder die Binomialverteilung,
nun mit einem Stichprobenumfang von 100.
Die Formel für die obere kumulierte Binomialverteilung lautet jetzt:
P({ X >= i }) = [mm] \summe_{k=i}^{100} \vektor{100 \\ k} 0.2^k [/mm] * (1-0.2)^(100-k)
( P({ X >= i }) bedeutet die Wahrscheinlichkeit,
daß k und mehr weiße Kugeln in der Stichprobe sind).
Für den Fehler zweiter Art folgt dann:
P({ X < i }) = [mm] \summe_{k=1}^{i-1} \vektor{100 \\ k} 0.4^k [/mm] * (1-0.4)^(100-k)
.
Der gesuchte Ablehnungsbereich wird sich in der Nähe von 30 befinden.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Do 18.06.2009 | | Autor: | knuknumo |
| Aufgabe | Der Anteil der weißen Kugeln in einer Urne ist entweder 20% oder 40%. Die Nullhypothese H(0):p=0,2 soll bei einem Stichprobenumfang der Länge n getestet werden.
a) Bei n=20 Ziehungen mit Zurücklegen findet man 7 weiße Kugeln. Kann H(0) mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% abgelehnt werden? Wie groß ist der Fehler 2. Art? Zeichne zwei Stabdiagramme.
b) Durch n=50 Ziehungen mit Zurücklegen soll entschieden werden, welcher Fall vorliegt. Der Ablehningsbereich für die Nullhypothese sei {g;g 1;...50}. Berechne für g=14; 15; 16; 17 die Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen. Bei welchem Ablehnungsbereich ist der Unterschied der Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen am kleinsten?
c) Es werden 100 Ziehungen mit Zurücklegen durchgeführt. Für welchen Ablehnungsbereich ist jetzt der Unterschied der Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen am kleinsten? |
kannst du mir bitte noch die rechenwege von a) und c) kurz aufzeigen?
es handelt sich doch um einen zweiseitigen test, oder?
sorry, ich glaub ich bin der größte mathe-looser
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Hallo knuknumo,
> Der Anteil der weißen Kugeln in einer Urne ist entweder 20%
> oder 40%. Die Nullhypothese H(0):p=0,2 soll bei einem
> Stichprobenumfang der Länge n getestet werden.
>
> a) Bei n=20 Ziehungen mit Zurücklegen findet man 7 weiße
> Kugeln. Kann H(0) mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von
> 10% abgelehnt werden? Wie groß ist der Fehler 2. Art?
> Zeichne zwei Stabdiagramme.
>
> b) Durch n=50 Ziehungen mit Zurücklegen soll entschieden
> werden, welcher Fall vorliegt. Der Ablehningsbereich für
> die Nullhypothese sei {g;g 1;...50}. Berechne für g=14; 15;
> 16; 17 die Wahrscheinlichkeiten für beide
> Fehlentscheidungen. Bei welchem Ablehnungsbereich ist der
> Unterschied der Wahrscheinlichkeiten für beide
> Fehlentscheidungen am kleinsten?
>
> c) Es werden 100 Ziehungen mit Zurücklegen durchgeführt.
> Für welchen Ablehnungsbereich ist jetzt der Unterschied der
> Wahrscheinlichkeiten für beide Fehlentscheidungen am
> kleinsten?
> kannst du mir bitte noch die rechenwege von a) und c) kurz
> aufzeigen?
> es handelt sich doch um einen zweiseitigen test, oder?
> sorry, ich glaub ich bin der größte mathe-looser
nein, du verstehst nur unser Forum falsch; wir wünschen uns Frager, die uns zeigen, dass sie sich große Mühe mit eigenen Ansätzen geben. Vorgerechnet wird hier erst nach langer Eigenarbeit...
.. und Hinweise auf die Lösungsideen gab's ja schon einige!
Jetzt bist du erst mal dran!
Gruß informix
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