betrag einer komplexen zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 02.12.2011 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | ich suche realteil, imaginärteil und den betrag von [mm] (2+i)^z,~z\in \IZ? [/mm] |
wenn ich verschiedene ganze zahlen für z einsetze bringt das irgwie nix...
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Hallo saendra,
> ich suche realteil, imaginärteil und den betrag von
> [mm](2+i)^z,~z\in \IZ?[/mm]
> wenn ich verschiedene ganze zahlen für
> z einsetze bringt das irgwie nix...
Was soll das heißen, das bringt nichts?
Ist die Aufgabe, zu [mm] u(z)=(2+i)^z [/mm] allgemein Re(u(z)), Im(u(z)) und |u(z)| zu bestimmen?
Am einfachsten geht das über die Polar- bzw. Exponentialform.
Bestimme damit doch mal u(2) und z.B. u(7).
Dann überlege Dir, wie man u(-1) ermitteln kann.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Fr 02.12.2011 | | Autor: | saendra |
wir hatten noch keine polarkoordinaten, also kann ich das nicht nehmen oder?
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Hallo,
> wir hatten noch keine polarkoordinaten, also kann ich das
> nicht nehmen oder?
es geht nicht um Polarkoordinaten. Es geht darum, ob ihr folgende Darstellung komplexer Zahlen bereits durchgenommen habt:
r=|z|
[mm] \phi=arg(z)
[/mm]
[mm] z=x+yi=r*(cos(\phi+i*sin(\phi))=r*e^{i*\phi}
[/mm]
Alle Darstellungen sind äquivalent, die mittlere heißt Polardarstellung, die hintere Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl.
Der Witz an dieser Aufgabe ist aber eventuell tatsächlich der, ohne diese beiden Darstellungen auszukommen. Dazu musst du dir klarmachen, was die Potenzierung mit einer reellen Potenz in der Gauß'schen Ebene geometrisch bewirkt. Das müsstet ihr durchgenommen haben?
Fakt ist: sowohl Real- als auch Imaginärteil werden bei dieser Aufgabe in gewisser Weise 'oszillieren', es wird also notwendig sein, bei der Darstellung auf die Kreisfunktionen Sinus und Kosinus zurückzugreifen.
Wenn du dir klarmachst, was allgemein mit einer komplexen Zahl passiert, wenn man sie (mit reller Potenz) potenziert, dann ist das die dreiviertels Miete. Achte dabei getrennt auf Argumente und Beträge der Potenzen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Fr 02.12.2011 | | Autor: | saendra |
also... erstmal vielen vielen dank für deine hilfe! Bin heute mittag das skript durchgegangen und es steht tatsächlich fast nichts dazu da. Meine tutorin meinte vorhin in der übungsgruppe, wir sollen es mit dem binomischen lehrsatz machen. Soweit so schlecht... das hab ich dann mal gemacht und ein bisschen ausgeschieben...:
[mm] (2+i)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^{n-k}i^k [/mm] = ... = [mm] \summe_{\tau=0,2,4,...}^{n}(-1)^{\bruch{\tau}{2}} \left(\summe_{\tau=0,2,4,...}^{n}2^{n-\tau}\bruch{n!}{\tau!(n-\tau)!} + i\summe_{\tau=0,2,4,...}^{n}2^{n-\tau+1}\bruch{n!}{(\tau+1)!(n-\tau+1)!}\right)
[/mm]
ist das soweit ok?
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Hallo saendra,
die Fälligkeit deiner Frage war abgelaufen, aber ich habe das mal zurückgesetzt.
Das ist ja ein Monster von Summe, as du da aufgestellt hast und mir fehlt im Moment ehrlich gesagt die Zeit, das nachzuuvollziehen.
Mein Tipp ging in eine andere Richtung. Wenn du eine komplexe Zahl (mit einer ganzen Zahl) potenzierst, so wird ihr Betrag ebenso potenziert, während das Argument entsprechend multipliziert wird. Also:
[mm] |z^r|=|z|^r
[/mm]
[mm] arg(z^r)=r*arg(z)
[/mm]
Diesen Umstand könntest du hier sehr gut ausnutzen, da du ja
[mm] |z|=\wurzel{5}
[/mm]
sowie
[mm] arg(z)=\bruch{pi}{6}
[/mm]
vorliegen hast. Sehr schöne Zahlenwerte also, um damit zu rechnen... 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Sa 03.12.2011 | | Autor: | saendra |
au vielen dank! das hilft mir echt weiter! weiß nicht was die turorin sich bei dem tipp gedacht hat :D
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