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| Aufgabe | Seien m, n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie die folgende Gleichung:
[mm] \integral_{0}^{1}{x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} [/mm] |
Wie kann ich dieses Integral aufleiten?
Denn mit partieller Integration komme ich hier nicht weit, da n,m beliebig groß sein können :(
Habt ihr eine Idee ... danke :)
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Doch, mit partieller Integration funktioniert das. Setze für ganzzahlige [mm]m,n \geq 1[/mm]:
[mm]a_{mn} = \int_0^1~x^{m-1} (1-x)^{n-1}~\mathrm{d}x[/mm]
Dann bekommst du die folgenden Startwerte:
[mm]a_{m1} = \int_0^1~x^{m-1}~\mathrm{d}x = \frac{1}{m} \, , \ \ m \geq 1[/mm]
[mm]a_{1n} = \int_0^1~(1-x)^{n-1}~\mathrm{d}x = \frac{1}{n} \, , \ \ n \geq 1[/mm]
Und für [mm]m \geq 1, \, n >1[/mm] erhältst du rekursiv mittels partieller Integration
[mm]a_{mn} = \int_0^1~ x^{m-1} (1-x)^{n-1}~\mathrm{d}x = \frac{n-1}{m} \int_0^1~x^m (1-x)^{n-2}~\mathrm{d}x = \frac{n-1}{m} \, a_{m+1,n-1}[/mm]
Der erste Index hat sich um 1 erhöht, der zweite um 1 erniedrigt, die Summe der Indizes ist daher weiterhin [mm]m+n[/mm].
Diese Beziehung mußt du immer wieder anwenden, bis du rechts schließlich bei [mm]\ldots a_{m+n-1,1}[/mm] angekommen bist. Und das ist ein Startwert.
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