best. Integral differenzieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wird ein unbestimmtes Integral [mm] \integral_{}^{}{f(t) dt} [/mm] nach dt abgeleitet, so verschwindet doch das integral. Bei Integralen der Form [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] nach dx abgeleitet wird doch zuerst das Integral berechnet und das Ergebnis nach x differenziert.
Wie ist das bei bestimmten Integralen der Form [mm] \integral_{x_{0}}^{x_{1}}{f(t) dt}, [/mm] wenn nach dx abgeleitet wird?
--> [mm] \integral_{x_{0}}^{x_{1}}{ \bruch{f(t)}{dx} dt}
[/mm]
Mein Professor hat in der Vorlesung folgendes an die Tafel geschrieben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] x_{0}\le t\le x_{1}
[/mm]
[mm] y_{0}\le t\le y_{1}
[/mm]
[mm] u(x,y)=\integral_{x_{0}}^{x_{1}}{P(t,y_{0}) dt}+\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{Q(x_{1},t) dt}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=P(x_{1},y_{0})+\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{\bruch{\partial Q(x_{1},t)}{\partial x} dt}
[/mm]
Wie ist er hier auf [mm] P(x_{1},y_{0}) [/mm] gekommen? [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{0} [/mm] sind doch konstante Grenzen, oder?
Ich hoffe, jemand kann mir da weiter helfen.
Gruß, h.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Do 18.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
> wird ein unbestimmtes Integral [mm]\integral_{}^{}{f(t) dt}[/mm]
das versteh ich schon mal nicht. t ist doch nur das Integrationssymbol, und was bedeutet das Wort "ubestimmtes Integral für dich?
> nach dt abgeleitet, so verschwindet doch das integral.
> Bei
> Integralen der Form [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm] nach dx
> abgeleitet wird doch zuerst das Integral berechnet und das
> Ergebnis nach x differenziert.
Der Hauptsatz sagt doch, dass das f(x) ist!
>
> Wie ist das bei bestimmten Integralen der Form
> [mm]\integral_{x_{0}}^{x_{1}}{f(t) dt},[/mm] wenn nach dx abgeleitet
Ein bestimmtes Integral ist ne Zahl, die nach x abgeleitet gibt 0 das Ding hängt doch von niix ab!
> wird?
>
> --> [mm]\integral_{x_{0}}^{x_{1}}{ \bruch{f(t)}{dx} dt}[/mm]
>
> Mein Professor hat in der Vorlesung folgendes an die Tafel
> geschrieben:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [mm]x_{0}\le t\le x_{1}[/mm]
> [mm]y_{0}\le t\le y_{1}[/mm]
>
> [mm]u(x,y)=\integral_{x_{0}}^{x_{1}}{P(t,y_{0}) dt}+\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{Q(x_{1},t) dt}[/mm]
da hängt U nicht von x und y ab, sondern von x1 und y1
nimm die oberen Grenzen x,y dann stimmts. ebenso in Q nicht Q(x1,t)sondern Q(x,t) denn wenn Q nicht von x abhängt wär die Ableitung ja 0
also entweder in u x1,y1 oder im Integral x,y
Wenn du natürlich die Ableitung an der Stelle x1 meinst, ists am Ende wieder richtig.
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=P(x_{1},y_{0})+\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{\bruch{\partial Q(x_{1},t)}{\partial x} dt}[/mm]
>
> Wie ist er hier auf [mm]P(x_{1},y_{0})[/mm] gekommen? [mm]x_{1}[/mm] und
> [mm]x_{0}[/mm] sind doch konstante Grenzen, oder?
>
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Braunstein |
Danke vorerst mal.
Ich betrachte nun die Funktion auf folgende Art und Weise:
[mm] u(x_{1},y_{1})=\integral_{x_{0}}^{x_{1}}{P(t,y_{0}) dt}+\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{Q(x_{1},t) dt}
[/mm]
Ich betrachte also [mm] x_{1} [/mm] und [mm] y_{1} [/mm] als meine Variablen. Nun leite ich die Funktion nach [mm] x_{1} [/mm] ab:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x_{1}}=P(x_{1},y_{0})+\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{\bruch{\partial Q(x_{1},t)}{\partial x_{1}} dt} [/mm]
Soll ich nicht folgendes erhalten:
[mm] \bruch{\partial u(x_{1},y_{1})}{\partial x_{1}}=\integral_{x_{0}}^{x_{1}}{\bruch{\partial P(t,y_{0})}{\partial x_{1}} dt}+\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{\bruch{\partial Q(x_{1},t)}{\partial x_{1}} dt}
[/mm]
Und das ergibt ja laut Integrabilitätsbedingung:
[mm] \bruch{\partial u(x_{1},y_{1})}{\partial x_{1}}=\integral_{x_{0}}^{x_{1}}{\bruch{\partial P(t,y_{0})}{\partial x_{1}} dt}+\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{\bruch{\partial P(x_{1},t)}{\partial y_{1}} dt} [/mm] wenn gilt [mm] \bruch{\partial P(t,y_{0})}{\partial y_{1}}=\bruch{\partial Q(x_{1},t)}{\partial x_{1}} [/mm]
...
...
Ah, okay, jetzt seh ich's. Naja, beim ersten Integral wird nach [mm] x_{1} [/mm] differenziert. Und [mm] x_{0} [/mm] ist hier eine Konstante. Also ergibt das erste Integral mit Differentiation dann [mm] P(x_{1},y_{0}). [/mm]
Beim zweiten Integral wird nach [mm] y_{1} [/mm] differenziert (lt. Integrabilitätsbestimmung). Also gilt hier dann [mm] P(x_{1},y_{1})-P(x_{1},y_{0})
[/mm]
Danke für deinen Hinweis.
PS:
Bestimmtes Integral: Grenzen sind genau angegeben, dh keine Variablen enthalten!
Unbestimmtes Integral: Grenzen sind nicht angegeben bzw. enthalten eine Variable!
--> ÖNORM, wird an allen Unis so erklärt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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