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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mo 20.10.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Beweise oder Widerlege!
1. sup(−A) = −inf A
2. sup(−A) = −supA
3. A ⊆ B ⇒ supA ≤ supB
4. sup(A ∩ B) ≤ min{supA, supB} |
kann mir bitte jemand ein paar tipps geben, mit welchen regeln man hier gut umformen/beweisen/...kann?
danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Zorba |
was bedeutet denn -A?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> was bedeutet denn -A?
-A = {-a: a [mm] \in [/mm] A}
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Beweise oder Widerlege!
>
> 1. sup(−A) = −inf A
> 2. sup(−A) = −supA
> 3. A ⊆ B ⇒ supA ≤ supB
> 4. sup(A ∩ B) ≤ min{supA, supB}
Ich mach Dir mal 4. vor:
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
Da x [mm] \in [/mm] A, gilt x [mm] \le [/mm] supA und, da x [mm] \in [/mm] B, gilt auch x [mm] \le [/mm] supB,
also x [mm] \le [/mm] min{supA, supB} . Somit ist min{supA, supB} eine obere Schranke von A [mm] \cap [/mm] B, daher gilt 4.
FRED
> kann mir bitte jemand ein paar tipps geben, mit welchen
> regeln man hier gut umformen/beweisen/...kann?
>
> danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 20.10.2008 | | Autor: | jura |
danke, das kann ich sehr gut nachvollziehen!
aber ich weiß nicht, wie ich mit A und -A umzugehen habe...zb in 1.
sei x [mm] \in-A \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] sup(-A)
sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] inf A......
wie komme ich dann zu -infA?? ich kann ja nicht einfach das größer-kleiner-zeichen umdrehen, denn es kommt ja ganz darauf an, wie man a und x wählt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mo 20.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
stell dir A erst mal als einfache Menge vor. sicherheitshalber mal pos. Zahlen, mal negative.
also A=(-10,2) oder A= (5,7) oder so
dann fang fuer das Beispiel an zu ueberlegen, ob die Beh. stimmt, und warum. dann mach es formal.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 20.10.2008 | | Autor: | jura |
solche bsp hatte ich bereits durchprobiert und gefolgert, dass die aussage stimmt--aber formal krieg ichs nicht hin--ist mein obiger ansatz ok oder eher die falsche richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:54 Di 21.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> solche bsp hatte ich bereits durchprobiert und gefolgert,
> dass die aussage stimmt--aber formal krieg ichs nicht
> hin--ist mein obiger ansatz ok oder eher die falsche
> richtung?
Nein. Dein obiger "Ansatz" ist Murks
Ich mach Dir mal die Hälfte des Beweises von "sup(-A) = -infA" vor.
Sei z [mm] \in [/mm] -A, dann ex ein x [mm] \in [/mm] A mit z=-x, also ist -z = x [mm] \ge [/mm] infA. Folglich gilt
z [mm] \le [/mm] -infA. Somit ist -infA eine obere Schranke von -A. Daher
sup(-A) [mm] \le [/mm] -infA.
Jetzt versuch mal
-infA [mm] \le [/mm] sup(-A)
zu beweisen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:02 Di 21.10.2008 | | Autor: | jura |
> Ich mach Dir mal die Hälfte des Beweises von "sup(-A) =
> -infA" vor.
>
> Sei z [mm]\in[/mm] -A, dann ex ein x [mm]\in[/mm] A mit z=-x, also ist -z = x
> [mm]\ge[/mm] infA. Folglich gilt
>
> z [mm]\le[/mm] -infA. Somit ist -infA eine obere Schranke von -A.
> Daher
>
> sup(-A) [mm]\le[/mm] -infA.
>
> Jetzt versuch mal
>
> -infA [mm]\le[/mm] sup(-A)
>
> zu beweisen.
>
> FRED
ja, cool, habs hingekriegt, danke!! ist ja nun nicht notwendig, nochmal alles ausführlich aufzuschreiben, da ich doch ganz sicher bin--denn am ende erhalte ich schließlich -infA [mm]\le[/mm] sup(-A). da aber ja auch sup(-A) [mm]\le[/mm] -infA gilt, folgt also sup(-A) =-infA.
den satz sup(-A)=-supA kann ich ja sehr schnell widerlegen durch ein gegenbsp.
beim satz sup(A+B) =supA+supB bin ich nicht ganz sicher: ich habe als bsp A =(3,-1) und B=(2,4) genommen. für supA+supB erhält man 7. muss ich bei sup(A+B) komponentenweise addieren? dann erhalt ich ja sup (5,3)=5 und somit wäre auch dieser satz widerlegt ?
gruß und dank
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> beim satz sup(A+B) =supA+supB bin ich nicht ganz sicher:
> ich habe als bsp A =(3,-1) und B=(2,4) genommen. für
> supA+supB erhält man 7. muss ich bei sup(A+B)
> komponentenweise addieren? dann erhalt ich ja sup (5,3)=5
Hallo,
was Du für A+B machen mußt, erfährst Du aus der Definition. Wie habt ihr denn solche eine Summe von Mengen definiert?
Ich denke doch so: [mm] A+B:=\{a+b| a\in A \text{ und } b\in B\}. [/mm] Vergleiche das mit der Dir vorliegenden Definition.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Di 21.10.2008 | | Autor: | jura |
> > beim satz sup(A+B) =supA+supB bin ich nicht ganz sicher:
> > ich habe als bsp A =(3,-1) und B=(2,4) genommen. für
> > supA+supB erhält man 7. muss ich bei sup(A+B)
> > komponentenweise addieren? dann erhalt ich ja sup (5,3)=5
>
> Ich denke doch so: [mm]A+B:=\{a+b| a\in A \text{ und } b\in B\}.[/mm]
ja, so lautet auch meine definition. ist es in dem bsp richtig verstanden und angewandt oder nicht?
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> > > beim satz sup(A+B) =supA+supB bin ich nicht ganz sicher:
> > > ich habe als bsp A =(3,-1) und B=(2,4) genommen. für
> > > supA+supB erhält man 7. muss ich bei sup(A+B)
> > > komponentenweise addieren? dann erhalt ich ja sup (5,3)=5
> >
>
> > Ich denke doch so: [mm]A+B:=\{a+b| a\in A \text{ und } b\in B\}.[/mm]
>
>
> ja, so lautet auch meine definition. ist es in dem bsp
> richtig verstanden und angewandt oder nicht?
Hallo,
mein Plan war eigentlich, daß Du(!) das herausfindest.
Du kannst ja mal 'ne kleine Vorübung machen und für C:={ 5, 4, [mm] 3\} [/mm] und [mm] D:=\{ 0, 1\} [/mm] feststellen, was C+D ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Di 21.10.2008 | | Autor: | jura |
was ist mit meinem bsp für A und B oben? addiert man komponentenweise, wie ich es dort getan habe?
damit komme ich für C+D auf {5,5,3}
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> was ist mit meinem bsp für A und B oben? addiert man
> komponentenweise, wie ich es dort getan habe?
>
> damit komme ich für C+D auf {5,5,3}
Soso.
Und was bekommst Du für [mm] C':=\{3,4,5\} [/mm] $ und $ [mm] D':=\{ 0, 1\} [/mm] $ für C'+D' ?
> damit komme ich für C+D auf {5,5,3}
Welche Summen hast Du hierfür den nausgerechnet?
Warum ist Du 3+1 nicht in C+D?
Schau Dir nochmal die Def. der Addition an: gibt es dort irgendwas, dem Du entnehmen kannst, daß 3 und 1 nicht addiert werden?
Was meinst Du eigentlich mit "komponentenweise"?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Di 21.10.2008 | | Autor: | jura |
okok, man addiert also jedes element von A mit jedem element von B--und erhält so auf beiden seiten 6--wäre die aussage also zu beweisen.
ich beginne mit x [mm] \in [/mm] (A+B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] sup(A+B).....???wie komme ich zu den teilen supA oder supB??sollte ich die definition für die addition irgendwie einbauen?
für die aussage, inf(A*B)0 infA*infB findet man ein gegenbsp und hat diese somit widerlegt, richtig?
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> ich beginne mit x [mm]\in[/mm] (A+B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\le[/mm] sup(A+B).....???wie
> komme ich zu den teilen supA oder supB??sollte ich die
> definition für die addition irgendwie einbauen?
Hallo,
ohne die Def. von A+B wirst Du nicht auskommen, da Du ja über diese Menge was zeigen willst.
Mir selbst fiele es wohl leichter, davon auszugehen, daß man supA und supB hat, und anschließend den Schritt zu A+B zu gehen.
Wichtig ist noch, daß aus [mm] x\in [/mm] A+B folgt: es gibt ein [mm] a\in [/mm] A und ein [mm] B\in [/mm] B mit x=a+b.
> für die aussage, inf(A*B)= infA*infB findet man ein
> gegenbsp und hat diese somit widerlegt, richtig?
Falls Du ein Gegenbeispiel hast, widerlegt das die Aussage.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Mi 22.10.2008 | | Autor: | jura |
also ich habe nun mal was aufgeschrieben, so im groben dürfte die richtung stimmen, nur sicher ist es an einigen stellen noch mathematisch unkorrekt--da ich zb unsicher bin, wann ich a,b schreibe und wann ich auf A,B schließen kann...
sei [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] supA und [mm] b\le [/mm] supB [mm] \gdw [/mm] a+b [mm] \le [/mm] supA+supB (anwendung der definition der addition) [mm] \gdw [/mm] sup(a+b) =supA+supB [mm] \gdw [/mm] sup (A+B)= supA+supB
so die vorläufige fassung...über eine korrektur mit erklärung würd ich mich freuen...DANKE
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> sei [mm]a\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B [mm]\gdw[/mm] a [mm]\le[/mm] supA und [mm]b\le[/mm] supB [mm]\gdw[/mm]
> a+b [mm]\le[/mm] supA+supB (anwendung der definition der addition)
> [mm]\gdw[/mm] sup(a+b) =supA+supB [mm]\gdw[/mm] sup (A+B)= supA+supB
Hallo,
ich wäre mit Äquivalnzpfeilen ganz vorsichtig.
Gerade bei Ungleichungen ist das recht fehlerträchtig. Beweise lieber beide Richtungen getrennt, wenn Du dann auf dem Schmierzettel feststellst, daß es haargenau gleich geht, kannst Du's auf dem Zettel für die Abgabe dann ja anders schreiben.
Du mußt Dich bei jedem Schritt fragen: warum? Und eine Antwort drauf haben.
> sei [mm]a\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B [mm]==>[/mm] a [mm]\le[/mm] supA und [mm]b\le[/mm] supB [mm]==> [/mm]
> a+b [mm]\le[/mm] supA+supB (anwendung der definition der addition)
Nee, das heißt irgendwie anders. Monotonie vielleicht? Schau am besten mal in Deinen Unterlagen nach.
> a+b [mm]\le[/mm] supA+supB [mm]==> [/mm] sup(a+b) =supA+supB
Diesem Schritt kann ich nicht folgen:
[mm] a+b\le [/mm] supA+supB bedeutet ja, daß jedes [mm] x=a+b\in [/mm] A+B kleiner ist als supA+supB.
Dem würde ich entnehmen, daß [mm] sup(A+B)\red{\le} [/mm] supA + supB, die Gleichheit ist mir damit noch nicht klar.
Gruß v. Angela
[mm]\gdw[/mm] sup (A+B)= supA+supB
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 22.10.2008 | | Autor: | jura |
>
> ich wäre mit Äquivalnzpfeilen ganz vorsichtig.
>
> Gerade bei Ungleichungen ist das recht fehlerträchtig.
> Beweise lieber beide Richtungen getrennt, wenn Du dann auf
> dem Schmierzettel feststellst, daß es haargenau gleich
> geht, kannst Du's auf dem Zettel für die Abgabe dann ja
> anders schreiben.
welchen äquivalenzpfeil meinst du denn speziell? die am anfang kann man ja setzen, entspricht ja der definition für die obere schranke, dass [mm] a\le [/mm] supA...
>
> Du mußt Dich bei jedem Schritt fragen: warum? Und eine
> Antwort drauf haben.
>
> > sei [mm]a\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B [mm]==>[/mm] a [mm]\le[/mm] supA und [mm]b\le[/mm] supB [mm]==>[/mm]
> > a+b [mm]\le[/mm] supA+supB (anwendung der definition der addition)
>
> Nee, das heißt irgendwie anders. Monotonie vielleicht?
> Schau am besten mal in Deinen Unterlagen nach.
>
> > a+b [mm]\le[/mm] supA+supB [mm]==>[/mm] sup(a+b) =supA+supB
>
> Diesem Schritt kann ich nicht folgen:
>
> [mm]a+b\le[/mm] supA+supB bedeutet ja, daß jedes [mm]x=a+b\in[/mm] A+B
> kleiner ist als supA+supB.
>
> Dem würde ich entnehmen, daß [mm]sup(A+B)\red{\le}[/mm] supA +
> supB, die Gleichheit ist mir damit noch nicht klar.
also ich habe gedacht: wenn wenn (a+b) [mm] \le [/mm] supA+supB, dann folgt ja, dass supA+supB eine obere schranke von (a+b) ist, mit anderen worten: sup(a+b)=supA+supB und dann eben auch sup (A+B)=supA+supB
wenn es so nicht geht, wie dann?
> Gruß v. Angela
gruß, jule
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> welchen äquivalenzpfeil meinst du denn speziell?
Hallo,
ich meine Äquivalenzpfeile allgemein.
Manschmal ist die Sache nicht so äquivalent wie man meint, und man merkt das bei der Betrachtung getrennter Richtungen einfach besser.
> > > a+b [mm]\le[/mm] supA+supB [mm]==>[/mm] sup(a+b) =supA+supB
> >
> > Diesem Schritt kann ich nicht folgen:
> >
> > [mm]a+b\le[/mm] supA+supB bedeutet ja, daß jedes [mm]x=a+b\in[/mm] A+B
> > kleiner ist als supA+supB.
> >
> > Dem würde ich entnehmen, daß [mm]sup(A+B)\red{\le}[/mm] supA +
> > supB, die Gleichheit ist mir damit noch nicht klar.
>
>
> also ich habe gedacht: wenn wenn (a+b) [mm]\le[/mm] supA+supB, dann
> folgt ja, dass supA+supB eine obere schranke von (a+b) ist,
Eine obere Schranke von A+B meinst Du hoffentlich, und das ist richtig.
> mit anderen worten: sup(a+b)=supA+supB
a+b ist ein Element, und sup(a+b), also 'nen Supremum von einem Element, gibt's nicht. Supremum ist für Mengen.
> und dann eben auch
> sup (A+B)=supA+supB
Nö. Sup(A+B) bedeutet ja: die kleinste obere Schranke von A+B.
Bis jetzt weißt Du doch nur, daß sup(A)+ sup(B) eine obere Schranke ist. (Aber nicht, daß es die kleinste ist.)
Also ist [mm] sup(A+B)\le [/mm] sup(A) + sup(B).
Daß sup(A) + sup(B) wirklich die kleinste der oberen Schranken von A+B ist, ist bisher noch offen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mi 22.10.2008 | | Autor: | jura |
> Also ist [mm]sup(A+B)\le[/mm] sup(A) + sup(B).
>
>
> Daß sup(A) + sup(B) wirklich die kleinste der oberen
> Schranken von A+B ist, ist bisher noch offen.
also wäre dies noch zu beweisen:
angenommen, es gäbe eine obere schranke s von A+B, die kleiner ist als supA+supB:
sup(A+B) [mm] \le [/mm] s < supA+supB.......wie komme ich dann zum widerspruch?
> Gruß v. Angela
>
>
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>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Also ist [mm]sup(A+B)\le[/mm] sup(A) + sup(B).
> >
> >
> > Daß sup(A) + sup(B) wirklich die kleinste der oberen
> > Schranken von A+B ist, ist bisher noch offen.
>
> also wäre dies noch zu beweisen:
> angenommen, es gäbe eine obere schranke s von A+B, die
> kleiner ist als supA+supB:
> sup(A+B) [mm]\le[/mm] s < supA+supB.......wie komme ich dann zum
> widerspruch?
Annahme: sup(A+B) [mm]\le[/mm] s < supA+supB. Dann
a+b [mm] \le [/mm] s für jedes a [mm] \in [/mm] A und jedes b [mm] \in [/mm] B, somit
a [mm] \le [/mm] s-b für jedes a [mm] \in [/mm] A und jedes b [mm] \in [/mm] B, also ist s-b eine obere Schranke von A für jedes b [mm] \in [/mm] B. Daher:
supA [mm] \le [/mm] s-b für jedes b [mm] \in [/mm] B. Es folgt : b [mm] \le [/mm] s-supA für jedes b [mm] \in [/mm] B.
Also ist s-supA eine obere Schranke von B, d.h.: supB [mm] \le [/mm] s-supA. Es folgt:
supA+supB [mm] \le [/mm] s, im Widerspruch zur Annahme
FRED
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> > Gruß v. Angela
> >
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> >
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Do 23.10.2008 | | Autor: | jura |
besten dank für alles--hat lang gedauert, aber so habe ich wenigstens selbst viel gedacht und nun auch viel gelernt--so solls ja auch sein!
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