beschränkter linearer Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 21.05.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | | Es sei m = [mm] (m_k)_k \in [/mm] [mm] l^{\infty} [/mm] und 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty. [/mm] Zeige, dass durch [mm] M(x)=(m_kx_k)_k, [/mm] x = [mm] (x_k)_k \in l^p [/mm] ein beschränkter linearer Operator M [mm] :l^p \to l^p [/mm] definiert ist. Bestimme zudem [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p,l^p )} [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
[mm] \parallel M(x)\parallel_p [/mm] = [mm] (\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^\bruch{1}{p}\le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p} [/mm] (2)
also ist M wohldef. und beschränkt.
Und wegen
[mm] M(\lambda x+\mu y)=(m_k(\lambda x_k+\mu y_k))_{k \in \IN} [/mm] = [mm] \lambda(m_kx_k)+ \mu(m_ky_k)=\lambda M(x)+\mu [/mm] M(y) und somit linear also M [mm] \in L(l^p,l^p)= L(l^p)
[/mm]
Wäre das so in Ordnung?
Mein problem liegt mehr darin [mm] \parallel M\parallel_{L^(l^p)} [/mm] zu bestimmen.
[mm] L(X,Y)=\{A:X \to Y; \text{ A linear und stetig}\} [/mm] = [mm] \{A:X \to Y; \text{A linear und beschränkt}\} [/mm]
[mm] \parallel A\parallel_{L(X,Y)}=inf \{c\ge 0, \parallel Ax \parallel_{Y} \le c \parallel x\parallel_X \forall x \in X\}=\sup_{x \in B_x}\parallel Ax\parallel_{Y} =\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}=\sup_{x \in S_x} \parallel Ax\parallel_{Y} [/mm] (3)
wobei [mm] S_x=\{x \in X: \parallel x\parallel_X=1\} [/mm] und [mm] B_x=\overline{B(0,1)}=\{x \inX : \parallel x\parallel_x \le 1\} [/mm] und Ax=A(x)
und
[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{Y} \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{L(X,Y)} \parallel [/mm] x [mm] \parallel_X [/mm] (1)
ich weiß also aus (1), dass
[mm] \parallel [/mm] M [mm] \parallel_{L(l^p)} \ge \bruch{\parallel Mx \parallel_{p}}{\parallel x \parallel_p}
[/mm]
und aus (2)
[mm] \parallel M(x)\parallel_p \le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}
[/mm]
und ich weiß aus (3)
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{\parallel x\parallel_p=1} \parallel Mx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel Mx\parallel_p \underbrace{\le}_{(2)} \sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}
[/mm]
aber irgendwie komme ich hier auf keinen grünen zweig...
Meine Idee ist, dass [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}= \parallel m\parallel_{\infty} [/mm] aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
Kann mir da jemand bei helfen?
Vielen dank und schöne Pfingsten
Noya
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> Es sei m = [mm](m_k)_k \in[/mm] [mm]l^{\infty}[/mm] und 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty.[/mm]
> Zeige, dass durch [mm]M(x)=(m_kx_k)_k,[/mm] x = [mm](x_k)_k \in l^p[/mm] ein
> beschränkter linearer Operator M [mm]:l^p \to l^p[/mm] definiert
> ist. Bestimme zudem [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p,l^p )}[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben,
>
> [mm]\parallel M(x)\parallel_p[/mm] =
> [mm](\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^\bruch{1}{p}\le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
> (2)
> also ist M wohldef. und beschränkt.
> Und wegen
> [mm]M(\lambda x+\mu y)=(m_k(\lambda x_k+\mu y_k))_{k \in \IN}[/mm]
> = [mm]\lambda(m_kx_k)+ \mu(m_ky_k)=\lambda M(x)+\mu[/mm] M(y) und
> somit linear also M [mm]\in L(l^p,l^p)= L(l^p)[/mm]
>
>
>
> Wäre das so in Ordnung?
>
> Mein problem liegt mehr darin [mm]\parallel M\parallel_{L^(l^p)}[/mm]
> zu bestimmen.
>
> [mm]L(X,Y)=\{A:X \to Y; \text{ A linear und stetig}\}[/mm] = [mm]\{A:X \to Y; \text{A linear und beschränkt}\}[/mm]
> [mm]\parallel A\parallel_{L(X,Y)}=inf \{c\ge 0, \parallel Ax \parallel_{Y} \le c \parallel x\parallel_X \forall x \in X\}=\sup_{x \in B_x}\parallel Ax\parallel_{Y} =\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}=\sup_{x \in S_x} \parallel Ax\parallel_{Y}[/mm]
> (3)
> wobei [mm]S_x=\{x \in X: \parallel x\parallel_X=1\}[/mm] und
> [mm]B_x=\overline{B(0,1)}=\{x \inX : \parallel x\parallel_x \le 1\}[/mm]
> und Ax=A(x)
> und
>
> [mm]\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel_{Y} \le \parallel[/mm] A
> [mm]\parallel_{L(X,Y)} \parallel[/mm] x [mm]\parallel_X[/mm] (1)
>
>
> ich weiß also aus (1), dass
> [mm]\parallel[/mm] M [mm]\parallel_{L(l^p)} \ge \bruch{\parallel Mx \parallel_{p}}{\parallel x \parallel_p}[/mm]
>
> und aus (2)
> [mm]\parallel M(x)\parallel_p \le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
>
> und ich weiß aus (3)
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{\parallel x\parallel_p=1} \parallel Mx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel Mx\parallel_p \underbrace{\le}_{(2)} \sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
>
> aber irgendwie komme ich hier auf keinen grünen zweig...
> Meine Idee ist, dass [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}= \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
Hallo,
[mm]\le[/mm] sollte klar sein (das folgt schon aus (2)).
Um zu zeigen, dass Gleichheit gilt, musst du nur noch ein [mm]x\ne 0[/mm] finden mit [mm]\|M(x)\|_p=\|m\|_{\infty}*\|x\|_p[/mm].
PS. Der erste Teil deiner Lösung scheint mir in Ordnung.
>
> Kann mir da jemand bei helfen?
>
> Vielen dank und schöne Pfingsten
> Noya
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 21.05.2018 | | Autor: | Noya |
also ich weiß, dass
[mm] \parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty} [/mm] = [mm] \parallel m\parallel_{\infty}
[/mm]
und jetzt muss ich noch ein [mm] x\not= [/mm] 0 finden, sodass
[mm] \parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.
[/mm]
Und dann würde folgen [mm] \parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}
[/mm]
so die Idee. :D
Wähle ich mir jetzt ein [mm] x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases} [/mm] mit [mm] j\in \IN
[/mm]
dann wäre [mm] \parallel \delta_{kj}\parallel_p=1
[/mm]
und somit
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|
[/mm]
also ist doch auch
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}
[/mm]
und somit
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.
[/mm]
Wäre das so in Ordnung?
Vielen Dank und einen schönen Abend noch
Noya
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> also ich weiß, dass
>
> [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> = [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>
> und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
> [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>
> Und dann würde folgen [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>
> so die Idee. :D
>
> Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> mit [mm]j\in \IN[/mm]
> dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>
> und somit
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>
> also ist doch auch
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>
> Wäre das so in Ordnung?
fast.
Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein k gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
Allerdings ist nicht garantiert, dass in der Supremumsnorm das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist). Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].
>
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch
>
> Noya
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Di 22.05.2018 | | Autor: | Noya |
> fast.
> Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein k
> gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
> Allerdings ist nicht garantiert, dass in der Supremumsnorm
> das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich
> angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist).
> Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit
> [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert
> werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].
Ich verstehe den einwand nicht. Kannst du mir das eventuell genauer erläutern?
Vielen dank und liebe Grüße
Noya
> > Vielen Dank und einen schönen Abend noch
> >
> > Noya
> >
> >
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> > fast.
> > Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein
> k
> > gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
> > Allerdings ist nicht garantiert, dass in der
> Supremumsnorm
> > das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich
> > angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist).
> > Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit
> > [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert
> > werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].
>
> Ich verstehe den einwand nicht. Kannst du mir das eventuell
> genauer erläutern?
Ich bins der Fred, nicht donquijote. Ich hab Dir oben schon geschrieben, dass donquijote ogffenbar gemeint hat, dass Du gemeint hast [mm] \max \{|m_k|:k \in \IN\} [/mm] existiert.
Das hast Du aber nicht.
>
> Vielen dank und liebe Grüße
> Noya
> > > Vielen Dank und einen schönen Abend noch
> > >
> > > Noya
> > >
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:31 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> also ich weiß, dass
>
> [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> = [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.
>
> und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
> [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???
>
> Und dann würde folgen [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>
> so die Idee. :D
>
> Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> mit [mm]j\in \IN[/mm]
> dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen: [mm] x=x_k=\delta_{kj} [/mm] ????.
Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm] \in l^p [/mm] so, dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen Koordinaten sind =0.
>
> und somit
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?
Ja, dann bekommen wir [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k|
[/mm]
>
> also ist doch auch
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>
> Wäre das so in Ordnung?
Ja, bis auf die chaotische Bezeichnungsweise.
Den Einwand meines Vorredners verstehe ich nicht. Nirgendwo bist Du von
[mm] |m_k| [/mm] = [mm] ||m||_{\infty} [/mm] für ein k
ausgegangen.
>
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch
>
> Noya
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Di 22.05.2018 | | Autor: | Noya |
Hallöchen :)
> > also ich weiß, dass
> >
> > [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> > = [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>
> Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.
ja genau. Bin von der Definiton aus dem Skript ausgegangen und dann durcheinander gekommen mit der Bezeichnung...
>
>
>
> >
> > und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
> > [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>
> ???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???
gar nicht. ging von der Def. von [mm] \parallel A\parallel_{L(l^p)} [/mm] aus, welche ja abhängig von x ist.
>
>
> >
> > Und dann würde folgen [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>
> >
> > so die Idee. :D
> >
> > Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> > mit [mm]j\in \IN[/mm]
> > dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>
>
> Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen:
> [mm]x=x_k=\delta_{kj}[/mm] ????.
>
> Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm]\in l^p[/mm] so,
> dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen
> Koordinaten sind =0.
genau. wie könnte ich das denn schöner betiteln?
laut Aufgabernstellung gilt ja : [mm] x=(x_k) \in l^p. [/mm] wäre dann evt [mm] x_{k}^{j} [/mm] für den speziell gewählten Vektor besser?
>
>
> >
> > und somit
> > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>
> Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?
denke nicht.. denn zb die Eintrage k=1,k=2 bis j-1 sollen 0 sein
der Eintrag j=1 und dann die Eintrage von j+1 bis [mm] \infty [/mm] wieder 0.
und dann hätte ich ja
[mm] (\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=(|m_1x_1|^p+|m_2x_2|^p+...+|m_{j-1}x_{j-1}|^p+|m_jx_j|^p+|m_{j+1}x_{j+1}|^p+..+||m_{\infty}x_{\infty}|^p){\bruch{1}{p}}=(0+0+...+0+|m_j*1|^p+0+...0)^{\bruch{1}{p}}=(|m_j|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|
[/mm]
>
> Ja, dann bekommen wir [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k|[/mm]
>
> >
> > also ist doch auch
> > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>
> >
> > und somit
> >
> > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Di 22.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen :)
> > > also ich weiß, dass
> > >
> > > [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> > > = [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> >
> > Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.
> ja genau. Bin von der Definiton aus dem Skript ausgegangen
> und dann durcheinander gekommen mit der Bezeichnung...
> >
> >
> >
> > >
> > > und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
> > > [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>
> >
> > ???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???
> gar nicht. ging von der Def. von [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
> aus, welche ja abhängig von x ist.
> >
> >
> > >
> > > Und dann würde folgen [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > so die Idee. :D
> > >
> > > Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> > > mit [mm]j\in \IN[/mm]
> > > dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>
> >
> >
> > Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen:
> > [mm]x=x_k=\delta_{kj}[/mm] ????.
>
> >
> > Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm]\in l^p[/mm] so,
> > dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen
> > Koordinaten sind =0.
> genau. wie könnte ich das denn schöner betiteln?
> laut Aufgabernstellung gilt ja : [mm]x=(x_k) \in l^p.[/mm] wäre
> dann evt [mm]x_{k}^{j}[/mm] für den speziell gewählten Vektor
> besser?
Drücke es doch so aus, wie ich es oben gemacht habe.
> >
> >
> > >
> > > und somit
> > > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>
> >
> > Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?
> denke nicht.. denn zb die Eintrage k=1,k=2 bis j-1 sollen
> 0 sein
> der Eintrag j=1 und dann die Eintrage von j+1 bis [mm]\infty[/mm]
> wieder 0.
O.K. dann wir wählen x $ [mm] \in l^p [/mm] $ so, dass die j-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen Koordinaten sind =0.
> und dann hätte ich ja
> [mm](\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=(|m_1x_1|^p+|m_2x_2|^p+...+|m_{j-1}x_{j-1}|^p+|m_jx_j|^p+|m_{j+1}x_{j+1}|^p+..+||m_{\infty}x_{\infty}|^p){\bruch{1}{p}}=(0+0+...+0+|m_j*1|^p+0+...0)^{\bruch{1}{p}}=(|m_j|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
> >
> > Ja, dann bekommen wir [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k|[/mm]
>
> >
> > >
> > > also ist doch auch
> > > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und somit
> > >
> > > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>
> >
> Vielen Dank!
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