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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mi 21.04.2010 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Man sagt, eine Menge [mm] K\subset [/mm] M ist beschränkt, wenn es ein x aus M und ein r>0 gibt, so dass K [mm] \subset B_{r}(x) [/mm] gilt.
Zeigen Sie: Diese Wahl hängt nicht von x ab. |
Hallo,
weil ihr mir in der letzten Zeit so gut weiter geholfen habt, wende ich mich heute mit einer weiteren Frage an euch.
Bei der obigen Aufgabe, hatte ich zuerst Schwierigkeiten, weil in der Aufgabenstellung meiner Meinung nach fehlt, welche Wahl von x unabhängig ist. Mittlerweile weiß ich, dass man zeigen soll, dass sobald die Bedingung für ein x gilt, sie automatisch auch für alle x gelten muss.
Leider weiß ich nicht, wie ich das zeige. Könnte mir jemand vielleicht zumindest den Ansatz geben?
Vielen Dank und viele Grüße,
Anette.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mi 21.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, M ist ein metrischer Raum mit Metrik d und
[mm] $B_r(x) [/mm] = [mm] \{y \in M: d(y,x)
(Falls M ein normierter Raum sein sollte, so ist $d(y,x) = ||y-x||$)
Da K beschränkt ist, ex also ein [mm] x_0 \in [/mm] M und ein r>0 mit K [mm] \subseteq B_r(x_0)
[/mm]
Nun ist zu zeigen: ist [mm] z_0 \in [/mm] M, so ex. ein R>0 mit : K [mm] \subseteq B_R(z_0)
[/mm]
Wir machen uns das Leben etwas einfacher und stellen fest: wenn wir gezeigt haben, dass es zu [mm] z_0 [/mm] ein R>0 mit
(*) [mm] B_r(x_0) \subseteq B_R(z_0) [/mm]
gibt, so sind wir fertig ! Wie kommt man auf solch ein R ?
Dazu male mal (im [mm] \IR^2) [/mm] eine Kreischeibe um [mm] x_0 [/mm] mit radius r. Dann malst Du irgendwo den Punkt [mm] z_0. [/mm] Nun sagt uns die Anschauung: das kleinste R , welches (*) erfüllt ist
R = [mm] r+d(x_0,z_0).
[/mm]
Das alles ist natürlich noch kein Beweis. Aber eine einfache Anwendung der Dreiecksungleichung zeigt, dass mit R = [mm] r+d(x_0,z_0) [/mm] tatsächlich (*) gilt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mi 21.04.2010 | | Autor: | anetteS |
Hallo fred97,
vielen Dank für deine Hilfe, ich habe jetzt an der Aufgabe weiter rumprobiert.
Ich hab mir eine Skizze gemalt, so wie du es empfohlen hattest.
Dann meintest du ja, dass man mit Hilfe der Dreiecksungleichung zu [mm] B_{r}(x_{0})\subseteq B_{R}(z_{0}) [/mm] kommt. Da scheitert es bei mir.
Ich habe gesagt, dass ich einen weiteren Punkt [mm] y_{0} [/mm] wähle, dann gilt
[mm] d(y_{0},x_{0})\le d(x_{0},z_{0})+d(z_{0},y_{0})
[/mm]
Dann sezte ich für [mm] d(x_{0},z_{0})= [/mm] R-r ein, da ja [mm] R=r+d(x_{0},z_{0}) [/mm] gilt.
[mm] d(y_{0},x_{0})\le [/mm] R-r [mm] +d(z_{0},y_{0})
[/mm]
wenn ich das nach r umstelle hab ich dann [mm] r\le R+d(z_{0},y_{0})-d(y_{0},x_{0}). [/mm]
Aber diese Gleichung sagt mir doch noch nicht, dass [mm] B_{r}(x_{0})\subseteq B_{R}(z_{0}) [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 21.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] y_0 \in B_r(x_0). [/mm] Dann ist [mm] d(y_0,x_0)
[mm] $d(y_0,z_0) \le d(y_0,x_0)+d(x_0,z_0) [/mm] < [mm] r+d(x_0,z_0)=R$.
[/mm]
Also ist [mm] y_0 \in B_R(z_0).
[/mm]
Fazit: $ [mm] B_{r}(x_{0})\subseteq B_{R}(z_{0}) [/mm] $
FRED
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