beschränkt, unstetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien f,g : [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch
f (x,y) = [mm] \begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{falls } (x,y) \mbox{nicht = (0,0) } \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) \mbox{= (0,0)} \end{cases}
[/mm]
g (x,y) [mm] =\begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{6}}, & \mbox{falls} (x,y) \mbox{nicht = (0,0)} \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) \mbox{= (0,0)} \end{cases}
[/mm]
Sie zeigen:
(a) f ist auf [mm] \IR^{2} [/mm] beschränkt und g ist in jeder Umgebung von (0,0) unbeschränkt.
(b) f ist unstetig an der Stelle (0,0), aber die Einschränkungen von f, sowie von g, auf jede beliebige Gerade in [mm] \IR^{2} [/mm] sind stetig.
( Sei M [mm] \subset [/mm] X und sei f: X [mm] \to \IR. [/mm] Die Einschränkung von f auf M ist definiert durch h(x)=f(x) für alle x [mm] \in [/mm] M. ) |
Hallo!
zu (a):
Wie zeige ich die Beschränktheit von Funktionen?
Ich habe irgendwo den Tip gelesen, dass man die Maxima bestimmen und dann die Werte der Funktion an diesen Stellen betrachten soll.
Das habe ich versucht. Doch dafür braucht man ja die Ableitung.
Erster Haken: Muss ich dann partiell differenzieren? Weil ich ja 2 Variablen habe...
Dann bekomme ich für [mm] D_{1} [/mm] f(x,y)= [mm] \bruch{y^{6} - x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{4})^{2}} [/mm] --> Maximum bei [mm] x=y^{2} [/mm] --> [mm] f(y^{2},y)=1/y
[/mm]
Und für [mm] D_{2} [/mm] f(x,y)= [mm] \bruch{2 x^{3}y + 2 xy^{4} - 4 xy^{5}}{(x^{2}+y^{4})^{2}} [/mm] . Doch wenn ich das Nullsetzen möchte bekomme ich nur: [mm] x^{2}=2y^{4}-y^{3} [/mm] Und wie es da weiter gehen soll, weiß ich auch nicht.
Sowieso weiß ich nicht, wie ich dann diese Maxima vergleichen soll!
Geht das überhaupt so?
Wenn ja, kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Ein anderer Weg wäre vllt auch über die Kompaktheit. Denn eine Teilmenge, die kompakt ist, ist ja auch automatisch beschränkt. Doch wie zeige ich Kompaktheit einer Funktion, bzw DIESER Funktion?
Wäre das auch eine Idee?
Doch wie komme ich dann auf die Unbeschränktheit?
zu (b):
Die Einschränkung hab ich mir ehrlich gesagt noch nicht eingehend angeschaut, wäre aber über jeden Tip dankbar, denn ich hab keinen Schimmer, was diese Einschränkung sein soll.
Bei der Unstetigkeit von f in (0,0) weiß ich auch nicht so recht, hab da mehrere Ansätze:
1. limes von links an (0,0) <0, limes von rechts an (0,0) > 0 . Aber daraus kann man nicht einfach schließen, dass es unstetig ist, oder?
2. Widerspruchsbeweis:
Annahme: f ist stetig in (0,0)
--> für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 und (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] mit | f(x,y) - f(0,0) | < [mm] \epsilon [/mm] gilt: | (x,y) - (0,0) | < [mm] \delta [/mm] mit [mm] \delta [/mm] > 0
Dann müsste man doch | f(x,y) - (0,0) | umformen, bis man einen Widerspruch zu [mm] |(x,y)|=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] < [mm] \delta [/mm] sieht.
Oder?
Aber da komme ich auch irgendwie nicht weiter...
Kann mir jemand helfen?
Das wäre toll 
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 06.05.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
hm... hab noch bis morgen früh zeit für die aufgabe, könnte mir noch jemand helfen??
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Hiho,
> Wie zeige ich die Beschränktheit von Funktionen?
Da gibt es mehrere Wege.
Am "schönsten" wäre es jedoch sicherlich direkt, also die Existenz eines $c>0$ so dass $|f(x,y)| [mm] \le [/mm] c$
> Ich habe irgendwo den Tip gelesen, dass man die Maxima
> bestimmen und dann die Werte der Funktion an diesen Stellen
> betrachten soll.
Ja und Nein. Das klappt nur bei Funktionen, die (fast) überall differenzierbar sind.
Nimm bspw. $f(x) = [mm] \bruch{1}{x}$. [/mm] Dort wird recht schnell klar, dass du mit dieser Methode nicht zum Ziel kommen wirst.
Du müsstest also erst zeigen, dass f überall differenzierbar ist, und selbst dann hast du erstmal nur lokale Extrema.
Ich würde bei f ne ganz einfache Fallunterscheidung machen, 4 Fälle.
1.) $|x| [mm] \le [/mm] 1, |y| [mm] \le [/mm] 1$
2.) $|x| [mm] \le [/mm] 1, |y| [mm] \ge [/mm] 1$
3.) $|x| [mm] \ge [/mm] 1, |y| [mm] \le [/mm] 1$
4.) $|x| [mm] \ge [/mm] 1, |y| [mm] \ge [/mm] 1$
Und dann jeweils die Existenz einer Konstanten zeigen, die f in diesem Fall beschränkt.
Warum folgt daraus die Gesamtbeschränktheit?
> Ein anderer Weg wäre vllt auch über die Kompaktheit. Denn
> eine Teilmenge, die kompakt ist, ist ja auch automatisch
> beschränkt. Doch wie zeige ich Kompaktheit einer Funktion,
> bzw DIESER Funktion?
Kompaktheit ist keine Eigenschaft einer Funktion, sondern einer Menge!
> Doch wie komme ich dann auf die Unbeschränktheit?
Suche eine Folge [mm] $(x_k,y_k) \to [/mm] (0,0)$, so dass [mm] $g(x_k,y_k) \to \infty$.
[/mm]
Ist dir klar, dass daraus die Unbeschränktheit sofort folgt?
Tip: [mm] $(x_k,y_k) [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{k^3}, \bruch{1}{k}\right)$
[/mm]
> zu (b):
> Die Einschränkung hab ich mir ehrlich gesagt noch nicht
> eingehend angeschaut, wäre aber über jeden Tip dankbar,
> denn ich hab keinen Schimmer, was diese Einschränkung sein
> soll.
Na ist doch ganz einfach.
Wie sehen Geraden denn im Zweidimensionalen aus?
In der Schule hast du bereits gelernt: $y = mx + n$
Also sollst du die Funktion betrachten für beliebige $m,n [mm] \in \IR$ [/mm] ausgewertet an diesen Geraden, also $f(x, mx+n)$
Dabei fehlen die allerdings noch einige Geraden. Welche? Welche Geraden im [mm] \IR^2 [/mm] lassen sich NICHT als Funktion von x darstellen? Tipp: Überlege mal, was du in der Schule als Beispiel kennengelernt hast, für eine Gerade, die keine Funktion ist.
> Bei der Unstetigkeit von f in (0,0) weiß ich auch nicht
> so recht, hab da mehrere Ansätze:
>
> 1. limes von links an (0,0) <0, limes von rechts an (0,0) >
> 0 . Aber daraus kann man nicht einfach schließen, dass es
> unstetig ist, oder?
Wenn du zeigen kannst, dass der Limes wirklich einmal echt kleiner und einmal echt größer ist, wärst du fertig.
Allerdings würde mich mal interessieren, was du unter "Limes von links an (0,0)" verstehst? Was heißt "von links" im Zweidimensionalen?
> 2. Widerspruchsbeweis:
> Annahme: f ist stetig in (0,0)
> --> für alle [mm]\epsilon[/mm] > 0 und (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] mit |
> f(x,y) - f(0,0) | < [mm]\epsilon[/mm] gilt: | (x,y) - (0,0) | <
> [mm]\delta[/mm] mit [mm]\delta[/mm] > 0
> Dann müsste man doch | f(x,y) - (0,0) | umformen, bis man
> einen Widerspruch zu [mm]|(x,y)|=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] < [mm]\delta[/mm]
> sieht.
> Oder?
Zu kompliziert.
Viel einfacher: es reicht eine(!) Folge [mm] $(x_k,y_k) \to [/mm] (0,0)$ zu finden, so dass [mm] $\lim_{k\to\infty} f(x_k,y_k) \not= [/mm] 0$. Warum?
Tipp: Wähle $y= [mm] \sqrt{x}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke!! Das war echt hilfreich!!
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