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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen
a) Jede nach oben beschränkte Teilmenge der natürlichen Zahlen, ebenso wie jede beschränkte
Teilmenge der ganzen Zahlen, ist immer endlich.
b) Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \IN^n [/mm] abzählbar. |
Hallo, ich habe bei a) folgendermaßen argumentiert:
IN fängt bei 1 an, geht immer in "1er-Schritten" voran" und ist nach oben hin nicht beschränkt. Wenn man nun IN nach oben hin beschränkt, d.h. ein Intervall [1, a], wobei a beliebig und [mm] \in [/mm] IN ist, kann man sagen, dass die Anzahl der Elemente in diesem Intervall bzw. Teilmenge gleich a ist und somit endlich ist.
Ist das so richtig?
Bei b) habe ich noch keinen Ansatz...Muss ich hier zeigen, dass IN die gleiche Mächtigkeit wie [mm] IN^n [/mm] besitzt?
Kann mir jemand einen Ansatz für b) und falls nötig auch für a) geben?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen
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> a) Jede nach oben beschränkte Teilmenge der natürlichen
> Zahlen, ebenso wie jede beschränkte
> Teilmenge der ganzen Zahlen, ist immer endlich.
>
> b) Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]\IN^n[/mm] abzählbar.
> Hallo, ich habe bei a) folgendermaßen argumentiert:
>
> IN fängt bei 1 an, geht immer in "1er-Schritten" voran" und
> ist nach oben hin nicht beschränkt. Wenn man nun IN nach
> oben hin beschränkt, d.h. ein Intervall [1, a], wobei a
> beliebig und [mm]\in[/mm] IN ist,
wie sollte [mm] $\IN$ [/mm] ein Intervall $[1,a]$ sein, wo doch $[1,a]$ für jedes $a > 1$ schon die Mächtigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] hat? Meinst Du vll.:
Annahme: Es sei [mm] $\IN=[1,a] \cap \IN$ [/mm] für ein $a [mm] \in \IN$...?
[/mm]
> kann man sagen, dass die Anzahl
> der Elemente in diesem Intervall bzw. Teilmenge gleich a
> ist und somit endlich ist.
> Ist das so richtig?
Nein, bzw., ich sehe schon einen Gedankengang, der verwertbar wäre, im Endeffekt ist das dann aber doch schon schwer, wenn man genau hinguckt, ob Du dann wirklich eine Aussage benutzt, die Du benutzen darfst, oder ob Du einfach die Behauptung nur umformulierst.
Mein Gedankengang wäre folgender:
Zu zeigen ist:
Jede nach oben beschränkte Teilmenge der natürlichen Zahlen ist endlich. Sei also $A$ eine nach oben beschränkte Teilmenge der natürlichen Zahlen. Dann gibt es insbesondere eine natürliche Zahl $M [mm] \in \IN$, [/mm] so dass $a [mm] \le [/mm] M$ für alle $a [mm] \in [/mm] A$. Zudem gilt in trivialer Weise $a [mm] \ge [/mm] 1$ für alle $a [mm] \in [/mm] A$. Und jetzt würde ich einfach zeigen:
$A$ kann nicht mehr als $M$ Elemente haben.
(Dazu zeigst Du z.B. einfach:
Hätte $A$ doch mehr, also $M+N$ Elemente mit einem $N [mm] \in \IN$, [/mm] so wäre doch $M+1=:M' [mm] \in [/mm] A$. Dann aber wäre $M' > M$ im Widerspruch dazu (nach der Wahl von $M$), dass $M$ eine obere Schranke von $A$ ist.)
Also gilt, dass $A$ höchstens $M$ Elemente haben kann. Dann gibt es aber eine Surjektion [mm] $\{1,...,M\} \to [/mm] A$, was die Behauptung liefert.
(Ggf. musst Du gucken, ob Du alle meine Argumente so benutzen darfst bzw. ob das so zu Eurem Vorlesungsstand passt. Manches kann man sicher (z.B. vermittels der Peano-Axiome) auch *sauberer* notieren, aber es geht ja mehr um eine Beweisidee.)
Den zweiten Teil, wo $B [mm] \subset \IZ$ [/mm] beschränkt vorausgesetzt wird:
Setze [mm] $-\IN:=\{-n, n \in \IN\}=\{-1,\;-2,\;-3,...\}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $Z=-\IN \cup^d\{0\} \cup^d \IN$ [/mm] (das [mm] $\cup^d$ [/mm] stehe für "disjunkt vereinigt mit").
Das kannst Du dann im wesentlichen auf den ersten Fall zurückführen.
> Bei b) habe ich noch keinen Ansatz...Muss ich hier zeigen,
> dass IN die gleiche Mächtigkeit wie [mm]IN^n[/mm] besitzt?
> Kann mir jemand einen Ansatz für b) und falls nötig auch
> für a) geben?
Tipp für b):
Ich schreibe mal nur [mm] $\IN^q$ [/mm] anstatt [mm] $\IN^n$, [/mm] weil ich die Variable $n$ später woanders (als "Laufvariable") verwende.
Für $q=1$: klar!
Für $q=2$: [mm] $\IN^2=\IN \times \IN=\bigcup_{m \in \IN}\left(\bigcup_{n \in \IN}\{(m,n)\}\right)=\bigcup_{m \in \IN}\bigcup_{n \in \IN}\{(m,n)\}$
[/mm]
Für $q=3$:
[mm] $\IN^3=\IN \times \IN \times \IN=\bigcup_{m \in \IN}\bigcup_{n \in \IN}\bigcup_{p \in \IN}\{(m,n,p)\}$
[/mm]
(Argumentation z.B. bei $q=3$:
Für alle $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] fest ist [mm] $\bigcup_{p \in \IN}\{(m,n,p)\}$ [/mm] als abzählbare Vereinigung abzählbarer (sogar 1-elementiger) Mengen abzählbar. Daher ist auch für festes $m [mm] \in \IN$ $\bigcup_{n \in \IN}\bigcup_{p \in \IN}\{(m,n,p)\}$ [/mm] als abzählbarer Vereinigung einer abzählbaren Menge wieder abzählbar, woraus schlussendlich auch folgt, dass [mm] $\IN^3=\bigcup_{m \in \IN}\bigcup_{n \in \IN}\bigcup_{p \in \IN}\{(m,n,p)\}$ [/mm] als abzählbare Vereinigung einer abzählbarer Menge wieder abzählbar ist.
Bei beliebigen, aber festen $q [mm] \in \IN$, [/mm] hast Du halt diese Argumentation $q$-Mal durchzuführen, oder aber Du machst einen Induktionsbeweis über $q$, was formal sicher die sauberere Angelegenheit ist.
Sollte Dir das Argument, dass abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind, unbekannt sein, dann suche ggf. mal nach dem Kantorschen Diagonalverfahren, schau', warum [mm] $\IQ$ [/mm] gleichmächtig zu [mm] $\IN$ [/mm] ist und was [mm] $\IQ_{>0}$ [/mm] mit [mm] $\IN^2=\IN \times \IN$ [/mm] zu tun haben könnte.)
Gruß,
Marcel
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