beliebige Matrix Z und S < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mo 22.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Gegeben sei die m × n-Matrix:
A = [mm] \pmat{ a_{1,1} & ... & a_{1,m} \\ ... & ... & ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,m}} [/mm]
mit [mm] a_{i,j} [/mm] = i + j für alle i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m}. Bestimmen Sie den Zeilen- und den Spaltenrang der Matrix A für beliebige n, m > 0. Geben Sie dabei Ihren Rechenweg an. |
Bezeichne [mm] z_{i} [/mm] die i-te Zeile der Matrix A
Dann ersetzte [mm] z_{i} [/mm] durch
(z′ [mm] )_{i}=\bruch{a_{i1}z_{1}−a_{11}z_{i}}{i-1}
[/mm]
Es gilt (z′ [mm] )_{i}=(0 [/mm] 1 2 ... n−1) für alle i≥2
Damit sind alle Zeilen (z′ [mm] )_{i} [/mm] für i≥2 linear abhängig und damit gilt Rang(A)=2
Genauso gilt es für den Spaltenrang
(s′ [mm] )_{i}=\bruch{a_{i1}s_{1}−a_{11}s_{i}}{i-1}
[/mm]
d.h. i≥2 und Rang(A)=2
Ist der Beweis richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:27 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die m × n-Matrix:
>
> A = [mm]\pmat{ a_{1,1} & ... & a_{1,m} \\ ... & ... & ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,m}}[/mm]
>
> mit [mm]a_{i,j}[/mm] = i + j für alle i ∈ {1, . . . , n}, j ∈
> {1, . . . , m}. Bestimmen Sie den Zeilen- und den
> Spaltenrang der Matrix A für beliebige n, m > 0. Geben Sie
> dabei Ihren Rechenweg an.
> Bezeichne [mm]z_{i}[/mm] die i-te Zeile der Matrix A
>
> Dann ersetzte [mm]z_{i}[/mm] durch
> (z′ [mm])_{i}=\bruch{a_{i1}z_{1}−a_{11}z_{i}}{i-1}[/mm]
Im Quelltext sehe ich, dass da steht
(z′ [mm])_{i}=\bruch{a_{i1}z_{1}-a_{11}z_{i}}{i-1}[/mm]
>
> Es gilt (z′ [mm])_{i}=(0[/mm] 1 2 ... n−1) für alle i≥2
> Damit sind alle Zeilen (z′ [mm])_{i}[/mm] für i≥2 linear
> abhängig und damit gilt Rang(A)=2
>
> Genauso gilt es für den Spaltenrang
>
> (s′ [mm])_{i}=\bruch{a_{i1}s_{1}−a_{11}s_{i}}{i-1}[/mm]
Auch hier:
(s′ [mm])_{i}=\bruch{a_{i1}s_{1}-a_{11}s_{i}}{i-1}[/mm]
>
> d.h. i≥2 und Rang(A)=2
>
>
> Ist der Beweis richtig ?
Ja, aber nur , wenn m [mm] \ge [/mm] 2 und n [mm] \ge [/mm] 2 ist. Die Fälle m=1 oder n=1 hast Du vergessen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:41 Di 23.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Für m=n=1 ist der rg=1 oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für m=n=1 ist der rg=1 oder nicht?
Ja
Und wie siehts aus im Falle m=1, n beliebig ? Und im Falle n=1, m beliebig ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Di 23.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Genauso, also rg(A)=1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Genauso, also rg(A)=1
Ja
FRED
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