bedingte Entropie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachtet wird folgende Situation: Ein Prüfling hat eine Single-Choice-Frage vor sich mit 5, für ihn gleich wahrscheinlichen Antwortmöglichkeiten. Er bekommt die Möglichkeit zu fragen, ob die richtige Antwort unter den ersten drei Antwortmöglichkeiten ist.
Frage: Wie groß ist die Unsicherheit und wie viel Information kann der Prüfling durch die Frage erlangen? |
Hallo!
Also so richtig, weiß ich nicht wie ich die Aufgabe anpacken soll.
Hier erstmal meine Gedanken:
Wenn man 5 gleichverteilte Antwortmöglichkeiten hat ist die Entropie (Unsicherheit) ja [mm] H_5=log_2(5)=2,3219.
[/mm]
Durch die Frage, weiß man ja dann, in welchem Bereich die richtige Antwort liegt. Also müßte ja P(unter ersten [mm] 3)=\bruch{3}{5} [/mm] und P(nicht unter ersten [mm] 3)=\bruch{2}{5} [/mm] sein.
Ok. Je nach Antwort verbleiben dann ja noch entweder 3 oder 2 Antwortmöglichkeiten, also
P(antwortet richtig | unter ersten 3) = [mm] \bruch{P(unter ersten 3\cap antwortet richtig)}{P(antwortet richtig)}=\bruch{\bruch{1}{5}}{\bruch{2}{5}}=0.5 [/mm] und
P(antwortet richtig | [mm] \overline{unter ersten 3}) [/mm] = [mm] \bruch{P(\overline{unter ersten 3}\cap antwortet richtig)}{P(antwortet richtig)}=\bruch{\bruch{1}{5}}{\bruch{3}{5}}=\bruch{1}{3}.
[/mm]
Ist denn jetzt die bedingte Entropie gegeben durch:
[mm] H_{?}=0,5 log_2(0.5)+\bruch{1}{3} log_2(\bruch{1}{3})=1,0283,
[/mm]
oder benötigt man gar nicht die bedingte Entropie?
Somit liegt [mm] H_{?} [/mm] zwischen [mm] H_3=log_2(3)=1.5850 [/mm] und [mm] H_2=log_2(2)=1, [/mm] was ja auch Sinn machen würde.
Der Informationsgewinn durch die Frage ist die Differenz aus aus [mm] H_5 [/mm] und [mm] H_{?}?
[/mm]
Danke schon mal für euer Interesse und eure Mühe,
Grüße pleaselook.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 18.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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